初中数学专题训练--矩形新型题

1、初中数学专题训练- “矩形新型题” 近年来，各地的中考数学试题中涌现了一类图文并茂、新颖活泼、富有创新意识、与矩形密切相关的几何问题。这类试题能综合考查学生的几何知识面、分析推理能力、创新思维能力等。本文从2007年全国中考数学试题中精选几例，加以分类阐述，以飨读者。一、将矩形折叠例1 如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到。过B点折纸片使A点叠在直线AD上，得折痕PQ。（1）求证：；（2）你认为和相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？简解：（1）证明：，。又，。（2），即。又，。（3）

2、点A能叠在直线EC上，由（2）得，EC和折痕AE重合。评注 本题是以矩形为载体，把三角形的相似关系与几何图形的翻折有机地结合起来，解决此类问题的关键是抓住矩形的内角是直角的特征，利用相似的识别方法解决。本题突出考查了学生分析综合、动手、观察和探究的能力。二、将矩形平移例2 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动。平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q，设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积。（1）S与相

3、等吗？请说明理由。（2）设AE=，写出S和之间的函数关系式，并求出取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图，连接BE，当AE为何值时，是等腰三角形。简解：（1）相等。理由是：四边形ABCD、EFGH是矩形，即。（2），设，则，。，即。配方得：。当时，S有最大值3。（3）当或或时，是等腰三角形。评注 本题以图形平移为题材，是近年来常见的借助矩形运动的中考题。解决本题的关键是抓住矩形对角线分得两个全等三角形的面积相等，利用等式的性质解决，同时借助矩形的面积公式得到函数关系式，再利用配方求出最值。本题通过学生观察平移前后的图形变化，向学生渗透化归思想，突出考查了学生观察能力、探究实践能力和归纳推

4、理能力。三、点在矩形上移动例3 如图，在矩形ABCD中，。点P在AC上，交CD于Q，交于CD于E。点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止。（1）设的面积为S。请写出S关于的函数解析式，并确定的取值范围。（2）点P在运动过程中，的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由。简解：（1）过点P作，垂足为F。在矩形ABCD中，。在中，。又，。易证四边形PFCE是矩形，。又，又，。过点B作，垂足为K。在中，由等积法可得：，由题意得当Q与C重合时，P与K重合，即。由，得，即，的取值范围是。（2）面积有最大值，由（1）可得，当即时，S面积最大，即。评注 本

5、题是近几年来常见的质点在矩形上运动的问题。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来，求解策略是：1. 抓住图形中变量之间的关系，建立函数模型或不等式模型；2. 利用图形中特殊位置关系和一些特殊值，建立方程模型求解。本题突出考查了学生几何、代数知识综合运用的能力，数形结合、分析概括推理的能力。四、矩形在平面直角坐标系中例4 已知在矩形ABCD中，为BC上的一点，如下图所示，以BC所在直线为轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点。（1）若点M的坐标为，如下图，以OM为一边作等腰，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若

6、将（1）中的点M的坐标改为，其它条件不变，如下图，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为，其它条件不变，如下图，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个。（不必求出点P的坐标） 简解：（1）符合条件的等腰只有1个，点P的坐标为。（2）符合条件的等腰有4个，如下图，在中，在中，。在中，；在中，点在OM的垂直平分线上，；在中，。（3）若，则符合条件的等腰三角形有7个，点P的位置如下图所示。评注 本题是一道融几何、函数于一体的综合性试题，这类试题注重让学生从数量关系和几何图形的变化中去研究问题，近年来深受命题者的青睐。充分抓住等腰三角形的两腰相等，并借助矩形的内角是直角，运用分类讨论的思想是成功解决本题的关键。本题突出考查学生数学基