高中数学推理与证明（师生版）知识点分析新课标人教A版选修2（通用）

1、考纲导读推理与证明（一）合情推理与演绎推理1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明1了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。知识网络推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法反证法高考导航1推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2推理与证明与数

2、列、几何等有关内容综合在一起的综合试题多。101合情推理与演绎推理【考点要求】1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。【基础知识】1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括 和 ； 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.。归纳推理的基本模式：a,b,cM且a

3、,b,c具有某属性，结论：dM,d也具有某属性。类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简称类比。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的基本模式：A:具有某属性a,b,c,d；B具有某属性；结论：B具有属性。（a,b,c,d与，相似或相同）3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊情况；第三段：结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.（2）三

4、段论常用格式为：M是P， S是M，S是P；其中是 ，它提供了一个个一般性原理；是 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程【基础训练】1

5、.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .答案 白色2.数列1，2，4，8，16，32，的一个通项公式是 .答案 an=2n-13.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为 .答案 34.下面使用类比推理恰当的是 .“若a3=b3,则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”“(a+b)c=ac+bc”类推出“=+”“(a+b）c=ac+bc”类推出“=+(c0)”“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”答案 5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”

6、的形式为 .答案 一切奇数都不能被2整除，大前提2100+1是奇数，小前提所以2100+1不能被2整除.结论6.由,若ab0,m0，则与之间的大小关系为 .答案 7.已知f(x)=x2 008+ax2 007-8,f(-1)=10,则f(1)= .答案 -248.在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 . 答案 =典型例题例1. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明：左边 =

7、= = = = （将一般形式写成 等均正确。）变式训练1：设，nN，则 解：，由归纳推理可知其周期是4例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .解：。变式训练2：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个

8、面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。例3. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ，变式训练3：观察式子：，则可归纳出式子为（ ）A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直

9、线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn=nm”类比得到“ab=ba”；“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”；“(mn)t=m(nt)”类比得到“（ab）c=a（bc）”；“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”；“=”类比得到“=”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .答案 22.下列推理是

10、归纳推理的是 （填序号）.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的轨迹为椭圆由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 3.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第60个数对是 .答案 (5,7)102直接证明与间接证明【考点要求】1了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点

11、。2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。【基础知识】1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。 框图表示： （其中P表示条件，Q表示要证的结论）。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义

12、、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。框图表示：。分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有，这只需要证明命题为真，从而又有这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

13、。注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论。应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 【基础训练】1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件.答案 充分2.若ab0,则a+ b+.(用“”,“”,“=”填空)答案 3.要证明+2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）.反证法分析法综合法答案 4.用反证法证明命题

14、：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 .假设a、b、c都是偶数假设a、b、c都不是偶数假设a、b、c至多有一个偶数假设a、b、c至多有两个偶数答案 5.设a、b、c（0，+），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的 条件.答案 充要6.已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 答案 三个方程中都没有两个相异实根 典型例题例1若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而 =均大于或等于0，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证ABC三个内角A、B、C成等差数列。