11.二元方差分析(3) Microsoft PowerPoint 演示文稿.ppt

1、,教学评价与测量60 例 2013.10,案例11：二元方差分析 问题：如何评价两个定类变量和一个定距变量反映的被评价对象的特征 实例： 1设有两种教学方法：“注入式”和 “启发式”；有两种性格：“内向型”和“外向型”。两名性格不同的教师各按不同的教学方法作一次实验，分别对他们的教学效果评分统计如下：,试问教学方法和教师性格与教学效果是否相关。,教学评价与测量60 例 2013.10,2以下是 4 种不同的改革试点方案在 4 种不同规模的学校中，效果指标的抽样调查资料：,试问各改革方案之间与不同规模学校之间，其效果指标分别是否有显著差异（a=0.05）。 3以下是两种教学改革方案在4个不同地区

2、评价指标的抽样调查：,问评价指标与地区、方案以及两者交互作用中的哪些因素有显著影响（a=0.05）。,教学评价与测量60 例 2013.10,问题解决： 对于两个定类变量和一个定距变量反映的被评价对象特征的评价，就是研究两个定类变量与一个定距变量相关关系的评价问题。对于这个问题，可以采用方差分析的方法。 所谓方差分析，其内容是分析和检验总体之间的均值是否有所不同，其方法是通过特定的方差比来进行分析。 方差分析要假定各总体中自变量的每一个取值对应的因变量服从正态分布，并具有相等的方差。如果不知道总体方差，可以用样本方差来检验总体方差是否相等。一般样本方差的最大值与最小值之比不超过3，可以视为各总

3、体因变量的分布具有相等的方差。 在方差分析中，如果自变量只有一个定类变量，称为一元方差分析。如果自变量不止一个定类变量，可以按定类变量的个数冠名，如称之为二元方差分析、三元方差分析，如此类推，一般统称为多元方差分析。 本例的自变量有两个定类变量，采用二元方差分析。,教学评价与测量60 例 2013.10,二元方差分析讨论自变量对因变量的影响时，情况比较复杂。为了方便起见，可以采用如下数学模型： 独立作用模型,其中，Ai、Bj分别是变量A、B的作用效果，eij 是随机误差，a是变量A的分类数，b是变量B的分类数。 交互作用模型,其中，Ai、Bj分别是变量A、B的作用效果， (AB)ij是变量A,

4、、B的交互作用效果，eij 是随机误差， a是变量A的分类数，b是变量B的分类数。为了排除随机误差eij 的干扰，对于每一种搭配AiBj至少测量2次，再确定(AB)ij 的值。,教学评价与测量60例 2013.10,独立作用模型的二元方差分析 设有两个自变量作用于总体，并且满足以下条件： yij = m+a i +b j+e ij ， eijN（0，s 2）， ai2 = 0， bi2 = 0， 并且， m，a i，b j，s 2 都是未知参数。,教学评价与测量60 例 2013.10,总离差平方和：,可以证明：,变量A的离差平方和与平均离差平方和：,变量B的离差平方和与平均离差平方和：,剩余

5、误差平方和与平均剩余误差平方和：,亦即,教学评价与测量60例 2013.10,假设检验： 原假设H0：a i = 0，b j = 0， i =1，2，a , j=1，2，b 备择假设H1： ai2 0， bi2 0 统计量：,对于给定的显著性水平a，可以得到临界值lA，lB，使得 PF(a-1),(a-1)(b-1)lA=a, PF(b-1),(a-1)(b-1)lB=a 如果FAlA (FBlB)，那么变量A(B)的作用是显著的。如果FAlA (FBlB)，那么变量A(B)的作用是不显著的。,教学评价与测量60 例 2013.10,交互作用模型的二元方差分析 设有两个自变量作用于总体，并且满

6、足以下条件：,独立作用模型 交互作用模型,教学评价与测量60例 2013.10,教学评价与测量60 例 2013.10,记格平均值为,教学评价与测量60 例 2013.10,总离差平方和：,列间离差平方和：,行间离差平方和：,交互作用离差平方和：,剩余误差平方和：,可以证明： TSS = BSSA + BSSB + IAB + RSS 其中，交互作用离差平方和又可以进一步分解：,这里，BSS是把每一格作为一类所能解释的全部误差。,教学评价与测量60 例 2013.10,首先对复杂的交互作用IAB 进行检验，如果结果不显著，那么就把它归入误差项，再进一步对A，B各自的作用进行分析；如果交互作用是

7、显著的，那么就对它进行解释，以求得其合理性，将指出哪种搭配最佳，并且根据结果将启发我们进一步研究为什么会是这样的。,教学评价与测量60 例 2013.10,检验IAB 的作用,由于TSS=BSSA+BSSB+IAB+RSS，它们的自由度的关系为,教学评价与测量60 例 2013.10,统计量：,当IAB 的作用不显著 先作一个合并的总误差 TRSS= IAB+RSS，其自由度也合并为 (a1) (b1)+ab(r1)=abrab+1， 平均总误差为,对于给定的显著性水平a，可以查表得到临界值lAB，使得 P(FABlAB) = a 如果FABlAB，那么就接受原假设，即IAB 的作用不显著。如

8、果FABlAB，那么就拒绝原假设，即IAB 的作用显著。,教学评价与测量60 例 2013.10,检验A的作用,统计量,对于给定的显著性水平a，可以查表得到临界值lA，使得,如果 ，那么就接受原假设，即A 的作用不显著。如果 ，那么就拒绝原假设，即A 的作用显著。,检验B的作用,统计量,对于给定的显著性水平a，可以查表得到临界值lA，使得,如果 ，那么就接受原假设，即A 的作用不显著。如果 ，那么就拒绝原假设，即A 的作用显著。,当IAB 的作用显著时 变量A、B的F检验，要根据变量A、B的性质分为三种模型进行： 固定模型，即A、B两个变量都是固定变量，检验的统计量为,随机模型，即A、B两个变

9、量都是随机抽取的，检验的统计量为,混合模型，设A为固定变量，B为随机变量，检验的统计量为,教学评价与测量60 例 2013.10,教学评价与测量60 例 2013.10,1本例研究教学方法(A)和教师性格(B)与教学效果是否相关，即考察以下两种情形： 理想的独立作用模型,A1=85.087.5=2.5=a1， A2=90.087.5=2.5=a2，|ai|=a=2.5。 B1=82.587.5=5.0=b1， B2=92.587.5=5.0=b2， |bi|=b=5.0。 a1+a2=0, b1+b2=0， (AB)ij=(y11y12)-(y21-y22)=-5-(-5)=0。,教学评价与测

10、量60 例 2013.10,总离差平方和：,变量A的离差平方和与平均离差平方和：,变量B的离差平方和与平均离差平方和：,剩余误差平方和与平均剩余误差平方和：,教学评价与测量60 例 2013.10,假设检验： 原假设H0：a i = 0，b j = 0， i =1，2，a , j=1，2，b 备择假设H1： ai2 0， bi2 0 统计量：,由于FAlA (FBlB)，所以变量A(B)的作用是显著的。,教学评价与测量60 例 2013.10,理想的交互作用模型 如果教师B1特别适合注入式教学法A1，而教师B2特别不适合注入式教学法A1，则有结果，见下表：,A1= 82.50-86.25 =-

11、3.75 = a1，A2 = 90.00-86.25=3.75 = a2，|ai| = a =3.75。 B1=85.00-86.25=-1.25= b1， B2=87.50-86.25=1.25=b2， |bi| = b =1.25。 a1+a2 = 0, b1+b2 = 0， (AB)ij= (y11-y12)-(y21-y22) = 5-(-10) = 15 0。,教学评价与测量60 例 2013.10,总离差平方和：,变量A的离差平方和与平均离差平方和：,变量B的离差平方和与平均离差平方和：,剩余误差平方和与平均剩余误差平方和：,教学评价与测量60 例 2013.10,假设检验： 原假

12、设H0：a i = 0，b j = 0， i =1，2，a , j=1，2，b 备择假设H1： ai2 0， bi2 0 统计量：,由于FAlA (FBlB)，所以变量A(B)的作用是不显著的。,教学评价与测量60 例 2013.10,2本例研究各改革方案(A)之间与不同规模学校(B)之间，其效果指标分别是否有显著差异（a =0.05），采用独立作用模型的二元方差分析的方法。 设有两个自变量作用于总体，并且满足以下条件：,教学评价与测量60 例 2013.10,变量A的平均离差平方和,变量B的平均离差平方和,平均剩余误差平方和,统计量：,FAlA (FBlB)（a =0.05），各改革方案之间效果指标有显著差异，不同规模学校之间效果指标也有显著差异。,教学评价与测量60例 2013.10,教学评价与测量60 例 2013.10,3本例研究改革效果评价指标与地区(A)、方案(B)以及两者交互作用中的哪些因素有显著影响（a =0.05），采用交互作用模型的二元方差分析的方法。 设有两个自变量作用于总体，并且满足以下条件： a=4, b=2, r=2,教学评价与测量60 例 2013.10,教学评价与测量60 例 2013.10,教学评价