2020高考数学艺考生冲刺第七章概率与统计第21讲排列组合、二项式定理（理）课件.pptx

1、第21讲排列组合、二项式定理(理),1.加法原理与乘法原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. (2)分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法. (3)分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.,2.排列与组

2、合 (1)排列与组合的概念,(2)排列数与组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.,(3)排列数、组合数的公式及性质,3.二项式定理 (1)二项式定理,(2)二项式系数的性质,(3)各二项式系数和,题型一加法与乘法原理 【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班,从甲到丙地,每天有5个班车,从丙地到乙地每天有3个班车,则从甲地到乙地不同的乘车方法有() A.12种B.19种 C.32种D.60种 (2)如图,用6种不同的颜色

3、分别给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有() A.400种B.460种 C.480种D.496种,【解析】 (1)分两类:一类是直接从甲到乙,有n1=4种方法; 另一类是从甲经丙再到乙,可分为两步,有n2=53=15种方法. 由分类计数原理可得:从甲到乙的不同乘车方法n=n1+n2=4+15=19.故选B. (2)完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6543=360种方法;当使用3种颜色时,A,D使用同一种颜色,从A,D开始,有6种方法,B有5种,C有4种,完成

4、此事共有654=120种方法.由分类加法计数原理可知:不同的涂法有360+120=480(种). 【答案】(1)B(2)C,【规律方法】 (1)注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理;注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化. (2)解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.第(2)题中,相邻区域不同色,是按区域1与3是否同色分类处理.,变式训练一 1.(2015四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有() A.144个B.1

5、20个 C.96个D.72个,2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为() A.240B.204 C.729 D.920,B,【解析】 若a2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0.“凸数”为120与121,共2个.若a2=3,则“凸数”有23=6(个).若a2=4,满足条件的“凸数”有34=12(个),若a2=9,满足条件的“凸数”有89=72(个).所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).,A,题型二排列与组合 【例21】3名女生和5名男生排成一排. (1)如果女生全排

6、在一起,有多少种不同排法? (2)如果女生都不相邻,有多少种排法? (3)如果女生不站两端,有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻),有多少种排法? (5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法? 【解析】 (1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在,(5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置.,【例22】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种? (4

7、)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?,100+455=2 555(种). 至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.,至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,【例23】4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法? 【解析】 (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分

8、步乘法计数原理,共,(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.,【规律方法】 (1)求解有限制条件排列问题的主要方法,(2)解决有限制条件排列问题的策略 根据特殊元素(位置)优先安排进行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类. (3)含有附加条件的组合问题的解法 “含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选

9、取.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解. (4)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(或位置)的性质进行分类;按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).,变式训练二 1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A.144B.120 C.72D.24,2.旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能

10、最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为() A.24B.18 C.16D.10,D,【解析】 先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端共有4个位置,再把3人带椅子插放在4个位置,D,3.某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值9日,乙不值11日,则不同的安排方法共有() A.30种 B.36种C.42种 D.48种,C,所以总共有24+12+6=42(种)安排方法.,题型三二项式,(1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.,【例32】在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二

11、项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 【解析】 设(2x-3y)10=a0 x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10,(*) 各项系数和为a0+a1+a10,奇数项系数和为a0+a2+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a10.,由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.,(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+a10=1, 令x=1,y=-1(或x=-1,

12、y=1), 得a0-a1+a2-a3+a10=510, +得2(a0+a2+a10)=1+510,【规律方法】 (1)与二项展开式有关问题的解题策略 求展开式中的第n项,可依据二项式的通项直接求出第n项. 求展开式中的特定项,可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可. 已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数. (2)赋值法的应用 形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可. 对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之

13、和,只需令x=y=1即可. 若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和,变式训练三,A.-3B.-2 C.2D.3,D,【解析】 能够使其展开式中出现常数项,由多项式乘法的定义可知需满足:第一个因式,-120,3.(2019汕头质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,且(a0+a2+a8)2-(a1+a3+a9)2=39,则实数m的值为.,1或-3,【解析】 令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+a9, 令x=-2,则m9=a0-a1+a2-a3+-a9, 又(a0+a2+a8)2-(

14、a1+a3+a9)2=(a0+a1+a2+a9)(a0-a1+a2-a3+a8-a9)=39, (2+m)9m9=39,m(2+m)=3, m=-3或m=1.,式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=() A.5B.6 C.7D.8,B,1.若a1,2,3,5,b1,2,3,5,则方程y= x表示的不同直线条数为() A.11B.12 C.13D.14,A.-20 B.-5 C.5D.20,C,A,3.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有() A.10种B.20种 C.36种D.52种,A,【解析】 1号盒

15、子可以放1个或2个球,2号盒子可以放2个或3个球,() A.84B.-252C.252 D.-84,A,5.由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数(含2和5)的个数是() A.120 B.36 C.60 D.48,6.旅游体验师小李受某旅游网站的邀约,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若甲景区不能最先旅游,乙景区和丁景区不能最后旅游,则小李旅游的方法数为() A.24B.18 C.16D.10,B,D,7.(2017合肥质检)已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和为() A.-1B.1

16、 C.32D.64,D,解得a+b=2,故(ax+b)6的展开式中所有项的系数之和为(a+b)6=64,选D.,8.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为() A.15B.20 C.30D.42,C,9.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为.,24,【解析】 先排三个空椅子,形成4个间隔,然后插入3个坐人的椅子,10.(2017南昌模拟)在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中,xy3项的系数为.,120,1.把1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展开成关于x的多项式,其各项系数和为an,则,2.(2019长沙模拟)三对夫妻站成一排照相,则仅有一对夫妻相邻的站法总数是() A.72B.144 C.240 D.288,D,D,【解析】 第一类:选一对夫妻相邻捆绑,插入第二对夫妻中间,最后一对夫妻排在首尾,故共有48+240=288(种)排列方式.,3.(2019日照模拟)甲、乙、丙3人