概率论与数理统计练习册(理工类) - 第4章答案

1、概率论与数理统计练习题概率论与数理统计练习题 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.1 数学期望数学期望 一、选择题： 1设 x 的概率密度为 201 ( ) 0 xx f x = 其他 ，则()e x = b (a) 1 2 (b) 2 3 (c) 1 (d) 2 2设是随机变量，( )e存在，若 2 3 =，则( )e= d (a) ( )e (b) ( ) 3 e (c) ( )2e (d) ( )2 33 e 3设随机变量x和y独立且服从(0, )上的均匀分布，则min(, )ex y=(考研题 2011) c (a) 2 (

2、b) (c) 3 (d) 4 二、填空题： 1设随机变量 x 的可能取值为 0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,0.1，则()e x = 。 2设随机变量 x 的概率分布 ，则 2 (3)e xx+= 。 3设 x 为正态分布的随机变量，概率密度为 2 (1) 8 1 ( ) 2 2 x f xe + =，则 2 (21)ex = 。 *4设随机变量( ,1,2, ) ij xi jn=独立且同分布,()2 ij e x=，则行列式 11121 21222 12 n n nnnn xxx xxx y xxx = 的数学期望( )e y = (考研题 1999)。 x 2 1 0 1 2

3、 p 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 0.5 116 15 9 2,1 0.2 n n = 三、计算题： 1袋中有 5 个乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 个，以x表示取出的 3 个球中最大编 号，求： （1）x的分布律； （2）求x的数学期望().e x 2设随机变量 x 的密度函数为 0 ( ) 00 x ex f x x = ，试求下列随机变量的数学期望： （1） 2 1 x ye =； （2） 2 max,2yx=； （3） 3 min,2yx=。 345 0.10.30.6 ()3 0.14 0.35 0.64.5 x p e x = + + = 解：

4、23 10 0 2+ 22 2022 02 2+ 222 3002 02 11 (1) ( )|. 33 (2) ()2+2 ()|(|)2+. (3) ()+2|2 ()|1. xxx xxxxx xxxxx e yee dxe e ye dxxe dxexeee e yxe dxe dxxeeee + + + + = = = + = = + = 解： 概率论与数理统计练习题概率论与数理统计练习题 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.2 方差方差 一、选择题： 1设随机变量x服从区间(0,1)上的均匀分布，则方差()d x = c

5、 (a) 1 2 (b) 1 4 (c) 1 12 (d) 1 2已知()1,()3e xd x= =，则 2 3(2)ex = b (a) 9 (b) 6 (c) 30 (d) 36 3设服从参数为的泊松分布，23=，则 d (a) ( )23( )23ed= (b) ( )2( )2ed= (c) ( )23( )43ed= (d) ( )23( )4ed= 二、填空题： 1 设随机变量 x 的可能取值为 0， 1， 2， 相应的概率分布为 0.6， 0.3， 0.1， 则()d x = 。 2设随机变量 x 的密度函数为 | | 1 ( )() 2 x f xex =+，则()d x =

6、 。 3设正态分布 y 的密度函数是 2 (3) 1 y e ，则( )d y = 。 *4设随机变量x服从参数为1=的泊松分布，则 2 ()p xe x= (考研题 2008)。 三、计算题： 1设随机变量 x 的可能取值为 1，2，3，相应的概率分布为 0.3，0.5，0.2，求21yx=的期望 与方差。 0.45 2 1 2 1 1 22 e e = 222 ()1 0.32 0.53 0.21.9. ()(1 1.9)0.3(2 1.9)0.5(3 1.9)0.20.49. ( )(21)2 () 12.8. ( )(21)4 ()1.96. e x d x e yexe x d yd

7、xd x = + + = =+= = = = 2设随机变量(0,1)xn，试求e x；d x； 3 ()e x。 3设随机变量x的密度为 01 ( )12 0 axx f xbxx = 其他 ，已知 1 ()1(01) 2 e xpx=，求： （1）常数 a，b 的值； （2）方差()d x； *（3）随机变量 x ye=的期望与方差。 222 2 222 00 222222 33 2 1222 (|)|. 222 2 (|)(| )(|)()(|)()()(|)1. 1 ()0 2 xxx x exx edxxedxde dxexexe xexd xexex e xx edx + + = =

8、+= = 12 01 12 01 12 22 01 12 2 01 222 (1) 37 1= ()()1 323 1,2 3 ( )d()11 22 1 (2)()(1)(2)(1). 12 (3) ( )(2)(1) ( )()( ) xx a e xx axdxx bx dxb ab a f xxaxdxbx dxb d xx xdxx xdx e yexdxex dxe d ye ye ye + =+= = =+= += =+= =+= = 解： 12 22 2224 01 1 (2)(1) (1)(1) . 4 xx xdxex dxeee+= 概率论与数理统计练习题概率论与数理统计

9、练习题 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.3 协方差、相关系数协方差、相关系数 一、选择题： 1对任意两个随机变量,x y，若()() ( )e xye x e y=，则 b (a) ()()( )d xyd x d y= (b) ()()( )d xyd xd y+=+ (c) xy与相互独立 (d) xy与不相互独立 2将一枚硬币重复掷n次，以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和y的相关系 数等于 (考研题 2001) a (a) -1 (b) 0 (c) 1 2 (d) 1 二、填空题： 1设随机变量(, )x y

10、服从正态分布(0,0,1,1,0)n，则(32 )dxy= 。 2设x与y独立，且6)(=xd，3)(=yd，则(2)dxy= 。 3设()25,( )36,0.4 xy d xd y=，则()d xy= 。 三、计算题： 1 已知二维随机变量),(yx的分布律如表： 试验证x与y不相关，但x与 y 不独立。 x y 1 0 1 1 0.125 0.125 0.125 0 0.125 0 0.125 1 0.125 0.125 0.125 13 27 37 ()1 0.3750 1 0.3750.( )0. ()( 1) ( 1) 0.125( 1) 0.125 ( 1) 0.1250.125

11、0. ()() ( )., (1,1)0.125, (1)(1)0.375. (1,1)(1) (1), , e xe y e xy e xye x e yx y p xyp xp y p xyp xp y x y = + = = + + += = = = 解： 不相关。 另外， 不独立。 2设(0,4)(0,4)xnyu，且 x，y 相互独立，求：()()(23 )e xyd xydxy+；。 3设a和b为随机变量，且 1 ( ) 4 p a =， 1 () 3 p b a =， 1 () 2 p a b =。令 1,1, 0,0, ab xy ab = 发生发生 ， 不发生不发生 。 （1

12、）求二维随机变量( , )x y的概率分布； （2）求x和y的相关系数xy(考研题 2004)。 三、证明题： 设随机变量x服从区间( 2,2)上的均匀分布，设随机变量 6 yx=，证明：xy，不相关。 4 ()0,()4,( )2,( ), 3 ()() ( )0 416 ()()( )4. 33 (23 )4 ()9 ( )16 1228. e xd xe yd yx y e xye x e y d xyd xd y dxyd xd y = = +=+=+= =+=+= 解：且相互独立 ， 1()11 (1) ()( ) (|); ( ),()( )(); 12(|)66 12 ()( )

13、(); ()=1(). 123 01() 213 0 3124 111 1 6124 51 ()1 66 i j p ab p abp a p b ap bp abp ap ab p a b p abp bp abp abp ab x yp xx p yy = = = = 22 1111 (2) (),( ),(),() 4646 351 (),( ),(). 163612 ()() ( )1/ 241 ()( )15 / 2415 xy e xe ye xe y d xd ye xy e xye x e y d xd y = = = 22 66 22 2 77 2 1164 ()0,( )(

14、) 447 1 ()()0. 4 ()() ( ), e xxdxe ye xxdx e xye xxdx e xye x e yx y = = = 解： 相互独立。 概率论与数理统计概率论与数理统计练习题练习题 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 综合练习综合练习 一、填空题： 1随机变量 x 服从区间0，2上的均匀分布，则 2 () () d x e x = 1 3 。 2 设随机变量x，y的相关系数0.9， 若4zx=， 则y和z的相关系数= 0.9 。 *3 设随机变量x服从标准正态分布(0,1)xn， 则 2 () x e x

15、e= （考研题 2013） 。 二、计算题： 1. 设随机变量x等概率取 5 个值：2，0，1，3和4，求x的数学期望与方差。 2 22 16 ()( 20 1 34) 55 1 ()(40 1 9 16)6 5 36114 ()()()6. 2525 e x e x d xe xex = + + += =+ += = 2. 设 1 x， 2 x， 3 x为互相独立的随机变量，且()0 i e x=， 2 ()1 i e x=，1,2,3i =，求 22 123 (4) e xxx。 解： 2222222 1231212313 (4) 816=17e xxxe x xx x xx x=+ 3. 在长为l的线段上独立地任选两点，求两点间距离的数学期望和方差。 解：设 x,y 分别表示两点坐标，由题意得， 1 0 ( ) 0 xl f xl otherwise = 则 x 与 y 的联合密度函数为 2 1 0,0 ( , ) 0 xlyl f x yl otherwise = 设 z 表示两点间的距