第六讲 参数估计.ppt

1、第六讲 参数估计,山东工商学院计算机学院,参数估计,2-1,通过子样对总体未知参数进行估计,内 容,参数的点估计,参数的区间估计,什么是参数估计？,参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,当此数量未知时,从总体抽出一个子样， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.,例如，X N ( , 2),若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容.,参数估计的类型,点估计 估计未知参数的值,区间估计 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.,最大似然估计法,思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率,例如: 有两外形相同

2、的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.,答: 第一箱.,7-17,问: 所取的球来自哪一箱？,最大似然法,称这样得到的,为参数 的极大似然估计值,称统计量,为参数 的极大似然估计量,7-22,最大似然法的思想,若 X 连续, 取 f (xi, )为Xi 的密度函数,似然函数为,7-23,注1,注2,未知参数可以不止一个, 如1, k,设X 的密度(或分布)为,则定义似然函数为,若,关于1, , k可微,则称,为似然方程组,若对于某组给定的样本值 x1, x2, xn， 参数 使似然函数

3、取得最大值, 即,则称,为1, k 的极大似然估计值,7-24,点估计用一个确定的值去估计未知的参数，具有较大的风险。 因为估计量来自于一个随机抽取的样本，结果也就带有随机性。,区间估计,一置信区间概念 对于未知参数 ，除了得到它的点估计 外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道 这个范围包含参数真值 的可信程度这样的范围通常以区间的形式给出，而可信程度由概率给出这种估计称为区间估计或置信区间，以下先给出置信区间概念,定义 设 为总体X的一个未知参数， 是预先给定一个数， ， 是 两个估计量，如果 （7-10） 则称随机区间 为未知参数 的一个置信度为 的置信区间(Confidence Int

4、erval)置信度也常称为置信水平(confidence level)或置信系数(confidence coefficient)通常 取0.05，0.01，0.10，视具体需要而定,6.1 常见分布的参数估计,命令 二项分布的参数P的点估计值和置信区间 函数 binofit 格式,p、pci分别是二项分布中参数 的点估计及区间估计值。,p,pci=binofit(x,alpha) 二项分布的估计函数,案例1 对一大批产品进行质量检验时，从100个样本中检得一级品60个，求这批产品的一级品率p的置信区间（设置信度为0.95%）。,解：,在MATLAB命令窗口输入 R=60;n=100; alph

5、a=0.05; phat,pci=binofit(R,n,alpha),回车键，显示：,phat =0.6000，pci =0.4972 0.6967,一级品率p是二项分布分布 的参数，我们可用二项分布的命令求解。同时，由于样本容量 ，我们还可将总体分布近似看成正态分布。在本例中，我们选用二项分布的命令来求解。,所以的p的置信度为0.95的置信区间为（0.50，0.70）。,案例2 调查某电话呼叫台的服务情况发现:在随机抽取的200个呼叫中，有40%需要附加服务(如转换分机等)，以p表示需附加服务的比例，求出p的置信度为0.95的置信区间。,解：,在MATLAB窗口中输入 R=200*0.4;

6、n=200;alpha=0.05; phat,pci=binofit(R,n,alpha),回车键，显示：,phat =0.4000 ，pci =0.3315 0.4715,总体 服从二项分布 ， 参数n200， 。,所以得p的置信度为0.95的置信区间为（0.332，0.472）,6.1 常见分布的参数估计,命令 均匀分布的参数估计 函数 unifit 格式,a、b、aci、bci分别是均匀分布中参数a,b的点估计及区间估计值。,a,b,aci,bci=unifit(x,alpha) 均匀分布的估计函数,案例3 产生 100 行 2 列服从区间(10, 12)上的均匀分布的随机数, 计算区间

7、端点“a”和“b” 的极大似然估计值 解 在命令窗口中输入: r = unifrnd(10, 12, 100, 2); ahat, bhat = unifit(r) 回车后显示: ahat = 10.0154 10.0060 bhat = 11.9989 11.9743 结果表明: 以第一列随机数为例, 区间端点a和b的极大似然估计值分别是 10.0154(比“10”略大)和 11.9989(比“12”略小).,6.1 常见分布的参数估计,命令 指数分布的参数估计 函数 expfit 格式 lambdahat=expfit(x) %根据指数分布样本数据x, 计算并返回指数分布 参数 lambd

8、a 的极大似然估计值;,lam,lamci=expfit(x,alpha) 指数分布的估计函数,lam、lamci分别是指数分布中参数 的点估计及区间估计值,案例4 产生 1 行100 列的参数为 3的指数分布的随机数, 计算 “”的极大似然估计值. 解 在命令窗口中输入: r=exprnd(3,1,100); lambdahat=expfit(r) 回车后显示: lambdahat= 2.6787,案例5 设电池的寿命服从指数分布,其概率密度为,随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时)为115, 119, 131, 138, 142,

9、 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172. 试求电池的平均寿命的极大似然估计值和置信水平为98%的置信区间, x=115 119 131 138 142 147 148 155 158 159 163 166 167 170 172; lamdahat,lambdaci=expfit(x,0.02) lamdahat = 150 lambdaci = 88.4222 300.9338 结果表明：平均寿命的极大似然估计值为150小时，置信水平为0.98的平均寿命的置信区间为88.4222 , 300.9338,6.1 常见分布的参数估计,

10、命令 正态分布的参数估计 函数 normfit 格式 muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(X) muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(X,alpha),mu,sig,muci,sigci=normfit(x,alpha),Muci、sigci分别为分布参数 、 的区间估计。,x为向量或者矩阵，为矩阵时是针对矩阵的每一个列向量进行运算的。,alpha为给出的显著水平 （即置信度 ，缺省时默认 ，置信度为95）,mu、sig分别为分布参数 、 的点估计值。,案例6 从某超市的货架上随机抽取9包0.5千克装的食糖，实测其重

11、量分别为（单位：千克）：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，从长期的实践中知道，该品牌的食糖重量服从正态分布 。根据数据对总体的均值及标准差进行点估计和区间估计。,解：,在MATLAB命令窗口输入 x=0.497,0.506,0.518,0.524,0.488,0.510,0.510,0.515,0.512; alpha=0.05; mu,sig,muci,sigci=normfit(x,alpha),mu =0.5089,回车键，显示：,sig =0.0109,muci = 0.5005 0.5173,sigci =0.

12、0073 0.0208,结果显示，总体均值的点估计为0.5089，总体方差为0.109。在95%置信水平下，总体均值的区间估计为（0.5005，0.5173），总体方差的区间估计为 （0.0073，0.0208）。,案例7 某厂用自动包装机包装糖，每包糖的质量 某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1，100.5，99.5（单位：千克）。分别求总体均值 及方差 的置信度为0.95的置信区间。,解：,在MATLAB命令窗口输入 x=99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,102.1,100.5,99.5;

13、 alpha=0.05; mu,sig,muci,sigci=normfit(x,alpha),mu = 99.9778,回车键，显示：,sig =1.2122,muci = 99.0460 100.9096,sigci =0.8188 2.3223,所以得，总体均值 的置信度为0.95的置信区间为 （99.05，100.91），总体方差 的置信度为0.95的置信区间为（0.81882,2.32232）=(0.67,5.39),案例8,分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用铂球测定观察值为：6.

14、661 6.661 6.667 6.667 6.664 设测定值总体为，和为未知。对(1)、(2)两种情况分别求和的置信度为0.9的置信区间。,X=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672; Y=6.661 6.661 6.667 6.667 6.664; mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(X,0.1) %金球测定的估计 MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计,对于X mu = 6.6782 sigma = 0.0039 muci = 6.6750 6.6813 sigmaci = 0.

15、0026 0.0081,对于Y MU = 6.6640 SIGMA = 0.0030 MUCI = 6.6611 6.6669 SIGMACI = 0.0019 0.0071,结果表明，金球测定的均值估计值为6.6782 ，置信区间为6.6750, 6.6813,标准差估计值为 0.0039，置信区间为0.0026,0.0081, 而铂球的均值估计值为6.6640 ，置信区间为6.6611, 6.6669,标准差估计值为 0.0030，置信区间为0.0019,0.0071, 可见铂球测定的精确度高（标准差小， 关于总体期望和总体标准差置信区间长度相对要小）,命令 利用mle函数进行参数估计 函

16、数 mle 格式 phat=mle(dist, X) dist为分布函数名，如：beta(分布)、bino（二项分布）等， X为数据样本 返回用dist指定分布的最大似然估计值 phat, pci=mle (dist, X) 置信度为95% phat, pci=mle (dist, X, alpha) 置信度由alpha确定，alpha为显著水平，(1-)x100%为置信度 phat, pci=mle (dist, X, alpha, pl) 仅用于二项分布，pl为试验次数。,参数估计函数表,案例9 产生200个概率p为0.75的实验次数N=50的二项分布的随机数，求出置信度为0.95的参数p的置信区间 解：在命令窗口输入： X=binornd(50,0.75,200,1); p,pci=mle(bino,X,o.05,50) p = 0.7525 pci = 0.7439 0.7609,结论与总结,参数估计是数理统计中一个基本的重要问题, 就是用样本对总体的未知参数做出估计, 分为点估计和区间估计; 参数估计方法在各个方面具有广泛的应用. 本试验用 MATLAB软件工具箱中提供的参数估计函数 normfit, exp