勾股定理详细备课教案

1、新人教版八年级下册 勾股定理的探究 制作人：李佳颐课标目标：1.了解勾股定理的文化价值，历史背景。激发学生兴趣。2.让学生体验勾股定理探索的过程。3.在证明过程中让学生了解到数形结合（几何与代数相结合），割补拼接图形，作辅助线，等巧妙的数学证明方法，培养学生动手实践和独立思考能力（通过作图剪拼证明图形）首先我要问一个问题，你们相信外星生物吗？不管你们信不信，反正我是信了。 科学家们更是对寻找外星智慧生命非常感兴趣。他们经常想，能用什么方式给他们联系，给他们打个招呼呢，让他们知道我们的存在。可是文字跟语言什么的他们不懂啊。 这时候数学家说话了，用数学图形。图形也许能看懂，早在1820年，德国著名

2、数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子以三角形的三条边为边，种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。 我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射太空中去。那么这是一个什么样的图形。（图一）这个图形其实是包含了一个历史很悠久的数学定理，这就是著名的勾股定理。勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别是a,b,斜边是c,那么a2+b2=c2 为什么说他历史很悠久呢，勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”。世界上的

3、几个文明古国都已经发现了它并做了广泛深入的研究。 比如传说这个2500年前，一个数学家他叫毕达哥拉斯，他去朋友家吃饭，边吃他就边看那个地板，可能是他这个朋友太无聊了，还不如这个地板有意思，于是他看着看着，竟然让他看出了规律。发现了这个定理。所以你们没事的时候也可以到处看看，去吃饭应酬什么的无聊没意思了，说不定也能看出什么地板定理天花板定理什么的。我们来看看让他发现这个定理的地板到底有多么的有趣呢？（图二） 能从这么一堆等腰直角三角形中发现一个世界著名的定理，我也是醉了。所以说，同一样东西在不同人眼里能创造的价值不同，就好像同样是苹果在牛顿眼里是万有引力，在乔布斯眼里是智能手机，在我们的眼里她是

4、饭后水果。思考两个问题1.你能找出上图中正方形a、b、c面积之间的关系吗？（思考解答）2.下图中正方形a、b、c所围直角三角形三边上的正方形面积之间有什么特殊关系?（思考解答） 这就是毕达哥拉斯的发现。西方的人都认为毕达哥拉斯定理是他们的毕达哥拉斯第一个证明出来的。传说毕达哥拉斯证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆祝，所以他又叫“百牛定理”。为什么叫传说呢，因为没有人能够真正确定到底是不是他发现了勾股定理，就算是他发现的，也有人说他的道德信仰使他根本不会杀生更别说杀一百头牛了，所以说什么的都有我们也只能当成是一个传说。总而言之这个定理后来是在欧几里得的几何原本中被证明出来。在欧洲中世纪它又被戏称

5、为“驴桥定理”，因为那时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被卡住，难以理解和接受。所以勾股定理被戏称为“驴桥”，意谓笨蛋的难关。埃及称为埃及三角形。 西方人认定这是我们毕老发现的，毕老不是毕姥爷啊，这时候中国人不服气了，谁说你们先发现的。我们早就发现了。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么在公元前1100年左右的西周时期，周公与商高的对话则可以确定那个时候就已经发现勾股定理了。商高说“句广三，股修四，径隅五”。这里的“句”念作“勾”指的是直角三角形的短边，后来写法也演变成现在的“勾”。“股”指的是直角三角形的长边。古人用直角三角形来测量，将长的直角边树立起来以后，像腿一样。所以叫做

6、“股”，也就是腿的意思。“径”指的是斜边。就是勾3股4弦5，所以我们称它为勾股定理，也叫它商高定理。周髀算经中有记载。所以我们比毕达哥拉斯要早了五百多年。但是相传最早的还是古代巴比伦人，他们的泥板记载上就有勾股定理的印记如何证明它：勾股定理是数学上证明方法最多的定理，已经发表的便有400多种，近500种。我们只列举比较经典的几种，通过掌握他们来学习几种常见的数学方法首先我们来看一个图（上图四）方法一：弦图勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。这就是我国最早对勾股定理进行的证明，三国时期吴国的数学家赵爽，他在周髀算经内的勾股定理作出了详细注释。这是我们古代数

7、学的骄傲所以2002年，在北京召开的国际数学家大会就是用这个“弦图”作为会标。赵爽的这个证明可谓别具匠心，数形结合，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。赵爽的这个证明可谓别具匠心，数形结合，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。方

8、法二：图形拼接方法三：（图六）方法四：刘徽“青朱出入图”同一时代的数学家刘徽，也是沿用这种方法给出“青朱出入图”，将青、朱两块移出，拼入，便很简单地证明了勾股定理。方法五：总统证法美国第二十任总统伽菲尔德也证明过这个定理。总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。事情的经过是这样的；在1876年一个周末的傍晚，在散步的时候，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，问两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形，头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别

9、为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，一直有个问题困扰着很不舒服。不能被个小孩考到啊是吧。就立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。他是这样分析的，如图所示：（图八）1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证

10、法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。方法六：欧几里得的方法 提示：画垂直线构造相似三角形。设abc为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：（1）如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（sas定理）（2）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。（3）任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。（4）任意一个矩形的面积等于其二边长的乘

11、积（据辅助定理3）。证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。其证明如下：1.设abc为一直角三角形，其直角为cab。2.其边为bc、ab、和ca，依序绘成四方形cbde、bagf和acih。3.画出过点a之bd、ce的平行线。此线将分别与bc和de直角相交于kl4.分别连接cf、ad，形成两个三角形bcf、bda。5.cab和bag都是直角，因此c、a和g都是共线的，同理可证b、a和h共线。6.cbd和fba皆为直角，所以abd等于fbc。7.因为ab和bd分别等于fb和bc，所以abd必须相等于fbc。8.因为a与k和l在同一直线上，所以四方形bdlk必须二倍面积于abd9.因为c、a和g在同一直线上，所以正方形bagf必须二倍面积于fbc10.因此四边形bdlk必须有相同的面