有限域(Finite Fields)

1、有 限 域(finite fields),信息安全实验室,参考书目,代数与编码万哲先，科学出版社出版，华中科技大学出版社影印。 有限域冯克勤，走向数学丛书，湖南教育出版社。 近世代数熊全淹，武汉大学出版社。,一、域的基本性质,1.0 有限域的起源,17世纪起，费尔马(fermat,1601-1665)、欧拉(euler,1707-1783),勒让德(legendre,1752-1833)和高斯(gauss,1777-1855)等大数学家研究数论得到了同余式的许多性质，实质上也就研究了p元有限域的许多性质。 第一个明确讨论任意有限域的是法国年青数学家伽罗华(galois,1811-1832),1

2、828年关于五次方程的代数解法问题，产生群的概念，1830年关于数论在p元有限域的基础上，利用扩张方法构造了全部可能的有限域。所以有限域通常也叫伽罗华域。 1901年，狄柯逊(dickson)，线性群和伽罗华域理论，将域表示成现在的形式。,1.1 域的定义,定义1的理解：,对于加法和乘法是自封闭的. 一个域至少有两个元素0与e. 所有元素对于加法形成交换群,所有非零元素对于乘法形成交换群. 说一个集合是域的时候，除了要指明集合本身以外，还要指明定义在该集合上的加法和乘法.,判断子域只需验证： 1. 对于加法和乘法是自封闭的. 2. i.3和i.4 3. ii.3和ii.4,1.2 域的运算规则

3、,1.3 二项式定理,练习 1,有 限 域二、多项式和有理分式,本章内容,多项式和有理分式（4学时） 域上的多项式的定义和计算 带余除法 唯一因式分解定理 余元定理 多项式的根 域的扩张 域上有理分式的定义和计算,2.1域上的多项式的定义和计算,多项式的加法,多项式的乘法,2.2 带余除法,带余除法的例子,带余除法的例子,整除、因式和倍式,最低公倍式,不可约多项式,辗转相除法,2.3 多项式的根,2.3 多项式的根,多项式的值和根,余元定理,余元定理,余元定理,重因式、重根和形式微商,形式微商的运算规律,重因式、重根判别法,重因式、重根判别法,重因式、重根判别法,重因式、重根判别法,利用多项式

4、进行域的扩张,根的存在性,有限域的表示和计算,有限域的表示和计算,例子,例子,例子,有理分式域,自学,练习 2,有 限 域,三、域的特征和素域,本章内容,域的特征（2学时） 特征的定义和基本性质 域的同构和素域 有限域上的运算规则,3.1 域的特征,特征p的域的特殊运算规则,3.2 域的同构和素域,域的同构的基本性质,域的同构的基本性质,练习 3,有 限 域,四、有限域的乘法群,交换群的例子,任意有限域的乘法群都是循环群,练习4,有 限 域,五、有限域的结构,结构定理,练习5,练习5,有 限 域,六、有限域的应用 编码,编码与有限域,编码：信息到数字的转换. 目的：数字信息容易传递. 联系：工

5、程上最易实现的是二元数字信息，也就是由符号0，1组成的长为n的符号串.用代数语言描述就是有限域gf(2)上的一个n维向量.,主要研究内容,基本原则,依据：数字正确地通过信道的概率比发生错误的概率要大. 方法：两个字的分量相同的越多越接近. x=(011010) y1=(011011) y2=(111110),hamming距离,hamming距离,纠错码,t,2t+1,a,a,a,构造码距尽可能大的码,线性码及其生成矩阵,线性码的校验矩阵,纠错,构造,构造,例子,例子,基于代数编码理论的公钥密码系统,参考文献 r.j. mceliece, a public-key cryptosystem b

6、ased on algebraic coding theory, jpl dsn progress report 4244 (1978), 114-116. b. preneel, a. bosselaers, r. govaerts, j. vandewalle, a software implementation of the mceliece public-key cryptosystem, proceedings 13th symposium on information theory in the benelux, enschede (nl), june 1- 1992, pp. 1

7、19-126 goppa codes & the mceliece cryptosystem ,http:/www.win.tue.nl/ejochems/goppamceliece.ps n. courtois, m. finiasz, and n.sendrier, how to achieve a mceliecebased digital signature scheme, advances in cryptology asiacrypt 2001, vol. 2248, springer-verlag, 2001, pp. 157174.,goppa码定义,goppa码性质,mceliece 公钥密码体制,mceliece 公钥加密,密钥生成过程,密钥生成过程,密钥生成过程,