常微分方程第三章(全部)

1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理,需解决的问题,3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,证明思路,(2) 构造(3.5)近似解函数列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),这是为了,即,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.,积分方程,命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程,证明:,即,反之,故对上式两边求导,得,且,构造Picard逐步逼近函数列,问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?,注,命题2,证明:(用数学

2、归纳法),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程,构造Picard逐步逼近函数列,命题2,命题3,命题4,命题5,2 存在唯一性定理的说明,3 一阶隐方程解存在唯一性定理,定理2,考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,三 近似计算和误差估计,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里,注:上式可用数学归纳法证明,

3、则,解,由于,由(3.19),解,解,与初值问题等价的积分方程为,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题的解为,3.2 解的延拓,问题提出,对于初值问题,例如 初值问题,1 饱和解及饱和区间,定义1,2 局部李普希茨(Lipschitz)条件,定义2,对定义2也可如下定义,注,3 解的延拓定理,定理,证明,定义函数,以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止.,它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解.,最后得到一条长长的积分曲线,推论1,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.,推论2,证明,推论3,例1 讨论方程,解,该方程右侧函数确定在整个

4、xy平面上且满足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为,例2,解,注,3.3 解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,一 解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值的连续依赖性,初值问题,引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两

5、个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。,证明,则,于是,因此,两边取平方根即得,2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有 定义,且,方程,思路分析：,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限 覆盖定理,

6、存在N,当 时,有,对 ,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,第二步:证明 在a,b上有定义.,假定 利用引理2及 的连续性可得:,第三步:证明,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,3 定理2 (解对初值的连续性定理),条件: 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,证明,令,二 解对初值的可微性,1 解对初值和参数的连续依赖定理,2 解对初值和参数的连续性定理,3 解对初值可微性定理,证明,因此,解对初值的连续性定理成立,即,即,和,于是,设,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性

7、定理,则,的解,不难求得,即,和,于是,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,的解,不难求得,初值问题,例1,解,由公式得,作业,P92 1,3,4,3.4 奇 解,一、包络和奇解,1 包络的定义,定义1：对于给定的一个单参数曲线族：,曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在,曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.,对于给定的一个单参数曲线族：,其中,为参数.,若存在一条曲线,满足下列条件:,(1),(2) 对任意的,存在唯一的,使得,且,与,在,有相同的切线.,则称,为曲线族,的一条包络线,简称为包络.,或定义：,例如,

8、单参数曲线族：,（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图,R,从图形可见,此曲线族的包络显然为:,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如: 单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见, 此曲线族没有包络.,问题:对于给定的单参数曲线族:,如何判断它是否有包络?,如果有包络, 如何求?,根据定义, 假设该单参数曲线族有包络,则对任意的,存在唯一的,使得,于是得到对应关系:,从而得到二元函数,使得,若,可用参数形式表示为:,记,则,于是,上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线,上.,由于,与,在M点有相同的切线,而,与,在M点的切线的斜率,分

9、别为,与,所以, 有,从而,由于在,上不同的点也在不同的,上,即,因此,现在,因此, 包络线,任意一点M不仅要满足,而且还要满足,把联立方程组:,中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线,称为曲线族,的c-判别曲线,2 包络的求法,曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程,注:,解:,记,则,即,因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),x,y,O,例2:,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解:,记,则,消去参数,得,的c-判别曲线:,经验证,是曲线族,的包络.,如图:,O,x,y,3 奇解,定义2:,微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的

10、另外一个解存在.,注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.,例如:,4 奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程组,注:,例3:,求微分方程,的奇解.,解:,从,消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线,即,由于方程的通解为:,三、克莱罗（Clairaut）方程,1 定义3:,形如,的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.,为求它的解,令,得,经化简,得,2 克莱罗(Clairaut)方程的求解,这是y已解出的一阶微分方程.,如果,则得到,于是, Clairaut方程的通解为:,如果,它与等式,联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:,或,其中c为参数.,消去参数p便得方程的一个解.,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线