必修五--1.1正弦定理与余弦定理(5课时)山西省优秀课件

1、1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.1 正弦定理,第一章 解三角形,高中新课程数学必修,第一课时,1.问题的引入:,.,(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？,问题提出,3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.,2.三角形是最基本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达

2、的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等.,正弦定理,知识探究（一）：正弦定理的形成,思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几种表示形式？由此可得什么结论？,思考3： 可变形为 , 在锐角ABC中，该等式是否成立？为什么？,思考4： 若C为钝角， 是否成立？ 若A为钝角， 是否成立？ 若B为钝角， 是否成立？,思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有 该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理？,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.,知识探究（二）：正弦定理的向量证明,思考2：若A为锐角，过点A作单位向量i，使i ,则向量i与 , , 的夹角分别是什么？,思考3：

3、由 可得什么结论？,思考4：若A为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？,思考5：若证明 ，应如何作单位向量i？,理论迁移,例1 在ABC中，已知A=32.0，B=81.8，a=42.9cm，解三角形.,C=66.2，b80.1cm，c74.1 cm.,例2 在ABC中，已知a=20cm， b=28cm，A=40，解三角形.,例3 在ABC中，已知a=60cm，b=50cm，A=38，解三角形.,sinB0.8999，B64，C=76，c30 cm；或B116，C=24，c13 cm.,sinB0.5131，B31，C=111，c91 cm,小结作业,1.三角形的三个内角及其对边叫做三角

4、形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即 ， ， 每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.,3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.,作业： P4 练习 ：1, 2.,1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.1 正弦定理,第二课时,问题提出,1.正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.,2.在解三角形中，利用正弦定理可以解决哪两类问题？,已知两角和一边解三角形；

5、已知两边和其中一边的对角解三角形.,3.在正弦定理中， 有什么几何意义？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？这需要我们作进一步了解和探究，加深对正弦定理的理性认识.,正弦定理的拓展,3.在正弦定理中，,3.在正弦定理中，,探究（一）：正弦定理的几何意义,3.在正弦定理中，,3.在正弦定理中，,思考2：如图，作ABC的外接圆，你能构造一个一条直角边长为a，其对角大小为A的直角三角形吗？,思考3：设ABC的外接圆半径为R，则 等于什么？,思考4：如图，若A为钝角，上述结论还成立吗？,若A为直角呢？,探究（二）：正弦定理的变式拓展,思考1：在三角形中有“大边对大角”原理，如何利用正弦定理进行理论解释？

6、,思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪些变形？,思考3：利用正弦定理如何求三角形的周长？,思考4：设ABC的外接圆半径为R，则其 面积公式 可以作哪些变形？,思考5：在ABC中，设A的平分线交BC 边于点D，则 （角平分线定理），你能用正弦定理证明这个结论吗？,理论迁移,例1 在钝角ABC中，已知AB= ，AC=1，B=30，求ABC的面积.,例2 在ABC中，已知 ，sinB=sinC，且ABC的面积为 ，求c边的长.,例3 在ABC中，已知acosB=bcosA，试确定ABC的形状.,等腰三角形,例4 在ABC中，已知 ，求角A的值.,120,小结作业,1.正弦定理是以三角形为背景的一个基

7、本定理，它不仅可以用来求三角形的边角值，而且可以在三角变换中实现边角转化，是解决三角形问题的一个重要工具.,2.正弦定理的应用具有一定的灵活性，在处理三角形的边角关系时，利用a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达到化边为角的目的.,3.正弦定理不是万能的，如已知三角形的三边长，利用正弦定理就不能求出三个内角，因此我们还需要建立新的理论.欲知后事如何，且听下回分解.,作业： P10习题1.1 A组：2. B组：2.,1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.2 余弦定理,第一课时,问题提出,1.正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等

8、，且等于外接圆直径.,2.若已知三角形的两边及其夹角或已知三边，能否用正弦定理解三角形？,3.对于上述问题，需要建立一个新的数学理论才能解决，这是我们要研究的课题.,余弦定理,探究（一）：余弦定理的推导,思考1：根据平面几何中两个三角形全等的判定定理，确定一个三角形可以是哪些条件？,边、角、边,角、边、角,边、边、边,思考2：在ABC中，已知边a，b和角C，从向量的角度考虑，可以求出什么？,c,思考3：c边的长即为 ，向量 与 ， 有什么关系？,思考4：如何将 转化为c与a，b，C的关系？,思考5：根据上述推导可得， ，此式对任意三角形都成立吗？,思考6：如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标

9、分别是什么？ 根据两点间的距离公式可得什么结论？,A(bcosC，bsinC),B(a，0),思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么？,思考8：上述三个等式称为余弦定理.如何用文字语言描述余弦定理？,三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.,探究（二）：余弦定理的变式,思考2：已知三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C，其计算公式如何？,思考3：上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断A是锐角、直角还是钝角？,思考4：若已知边a，b和角A，能直接用余弦定理求边c吗？,思考5：结合正弦定理， 可作什么变形？,理论迁移,例1 在ABC

10、中，已知b=60cm，c=34cm，A=41，解三角形.,a21676.82，a41cm，sinC0.544，C33，B106.,例2 在ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形.,cosA0.5543，A5620，cosB0.8398，B3253，C9047.,例3 在ABC中，已知a= ，b= ，B=30，求边长c的值.,4,例4 已知ABC的周长为20，A=30，a=7，求这个三角形的面积.,小结作业,1.余弦定理及其推论，把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的原理，从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.,2.余弦定理的主

11、要作用是已知两边一角求边，或已知三边求角，所得结论是唯一的.同时，利用余弦定理也可以实现边角转化.,3.余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结合正弦定理求解.,作业：P8练习：1，2.,1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.2 余弦定理,第二课时,知识整理,1.余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？,三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.,2.在三角形的六个基本元素中，已知哪三个元素可以解三角形？,3.针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？,已知一边两角：正弦定理；,已知两边及夹角：余弦定理；,已知两边及对角：正弦定理；,已

12、知三边：余弦定理.,一边两角，两边一角，三边.,应用举例,例1 在ABC中，已知 (sinAsinC)(sinAsinC) sinB(sinBsinC)，求角A的值.,120,例2 在ABC中，已知ac2b， B30，面积为 ，求b的值.,例3 在ABC中，已知C30，求 的值.,例4 在ABC中，求证：,例5 在ABC中，求证：,例6 在ABC中，求证：,正弦定理、余弦定理及其运用,第5课时,一、考纲解读 二、正弦定理及其变形 三、余弦定理及其变形 四、实际应用问题中的基本概念和术语 五、例题讲解 六、高考题再现 七、小结,本节课内容目录：,一、考纲解读：,在课标及教学要求中对正弦定理、余弦

13、定理的要求均为理解(B)。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主。,二、正弦定理及其变形：,( 其中 R是,外接圆的半径）,1、已知两角和任一边，求其他两边和一角；(三角形形状唯一） 2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（三角形形状不一定唯一）,解决题型：,解决题型：,三、余弦定理及其变形：,解决题型：,1、已知三边，求三个角；（只有一解） 2、已知两边和它们的夹角，求第三边 和其他两个角。（只有一解）,四、实际应用问题中的基本概念和术语,仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的

14、水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。 方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。,(某学生的解）,五、例题讲解：例1,五、例题讲解,错因分析：,因为,是锐角三角形，则要求,前面解法忽视了对,的讨论。,正确解答,即,若这个三角形有两解，求,的取值范围。,例2.,例2,解得情况如下：,A,B,C,b,a,A,B,B,C,A,B,C,C,B,A,已知两边和一边的对角，三角形解得一般情况。,上表中A为锐角时，,A为直角时，,均无解。,时，无解；,解法一：原式可化为,即：,例三,整理得：,即,是等腰三角形或是直角三角形。,解法二：原式可化为

15、,化简得：,也即,即,是等腰三角形或是直角三角形。,解法二,判断三角形形状时，可以将边化到角也可以,将角化到边，或边角同时互化。在转化过程,中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。,如内角和为,，每个内角大于,等。,点评：,且满足,求证：,例四：,证明：,例四,点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论.,例五、如图所示，某海岛上一观察哨A上午,12时20分测得船在海岛北偏西,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海,如果轮船始终匀速直线前,的B处，,11时测得一轮船在海岛北偏东,的C处，,的E港口，,进，问船速多少？,例五,分析：,已知从C到B及B到E的

16、时间，要知船速度， 只需知道CB,BE或CE中的任一长度即可。 题中只知AE=5km，那么只要将已知长度的边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行计算即可。,解：轮船从C到B用时80分钟，,从B到E用时20,分钟， 而船始终匀速前进，由此,可见：,设,，则,，由已知得,在,中，由正弦定理,在,中，由正弦定理得：,在,中，由余弦定理得：,所以船速,六、高考题再现：,1.（2008山东理）已知,的对边，向量,若,且,则角B= ,三个内角,分析：求边长，考虑将角向边转化。,3.（2009浙江理）,在,中，三个内角,所对的边分别为,且满足,(1)求,的面积；,（2）若,求,的值.,分析：利用倍角公式求出A的三角函数值，,4.（2010江苏）在锐角三角形,的对边分别为,则, ,小结：,处理