高数 泰勒公式幻灯片.ppt

1、,主讲教师:王升瑞,高等数学,第十七讲,1,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第八节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,第二章,2,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x的一次多项式,若,是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式,来近似表示,3,由,误差,即为一次多项式,的高阶无穷小,试问,是否成立？即是否求出,特例：,4,即,为抛物线与,更为接近,问,类似方法可得,右边的多项式在0的附近可以无限的接近于,如何用高次多项式来近似表示已给函数

2、，并给出误差,公式呢?,5,1.求n次近似多项式,要求:,故,令,则,6,2.余项估计,令,(称为余项),则有,7,8,公式称为的n阶泰勒公式.,公式称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,9,公式称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,10,特例:,(1)当n=0时,泰勒公式变为,(2)当n=1时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,11,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,12

3、,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,13,其中,14,泰勒多项式逼近,15,泰勒多项式逼近,16,五、小结,17,五、小结,18,五、小结,19,五、小结,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,类似可得,其中,37,其中,38,已知,其中,类似可得,39,1.利用泰勒公式求极限,例1计算,解:,原式,三、泰勒公式的应用,40,例2求,解：,用函数的麦克劳林展开式求此极限,41,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,例3.求,42,例4设,求,解,43,2.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,证:,44,例5设当,，有,证明,在,时

4、，至少有一个实根。,在,处展开成一阶泰勒公式,因此,，根据连续函数零点,而,此,使得,的一个实根。,证明将,定理可知，至少存在一点,为,2.利用泰勒公式证明方程根的存在性,45,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,46,2.常用函数的麦克劳林公式(P139P140),3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式等.,(2)利用多项式逼近函数,47,作业,P1411（2）;3；4;5;6；7,48,泰勒(16851731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,49,麦克劳林(16981746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,50,4、设,，且,，证明,证明由已知极限式得,利用泰勒公式有,从而,51,6.设函数,在,上三阶可导,且,设,使,证:因,因,因此,试证存在,利用二阶泰勒公式,得,52,7.设函数,在,上二阶可导,且