北师大版选择性必修第一册3-5数学探究活动(一)正方体截面探究作业

§5数学探究活动(一)：正方体截面探究研习1判断截面形状1.(2022辽宁辽阳模拟)一个正方体内接于一个球(即正方体8个顶点都在球面上)，过球心作一截面，则截面的图形不可能是()答案：D解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得C图；当截面过正方体的体对角线时得B图；当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时可能得A图，但无论如何都不能截出D图，故选D.2．(2022福建福清月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形；②截面的形状可能是正方形；③截面形状可能是正五边形；④截面面积最大值为3eq\r(3).则正确结论的编号是()A．①④B．①③C．②③D．②④答案：A解析：由AC1⊥平面B1CD1，知当平面α为平面B1CD1，满足截面为正三角形，故①正确．将平面B1CD1进行平移使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形．如图1，当平面B1CD1向左平移，靠近点C1时，截面为三角形，面积逐渐变小．当平面B1CD1向左平移到与平面BDA1重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移，截面为三角形．所以截面形状不可能为正方形，也不可能为正五边形，所以②，③不正确．当截面为三角形时的面积S≤eq\f(1,2)×(2eq\r(2))2sin60°＝2eq\r(3).当截面为六边形时，由AC1⊥α，即AC1垂直于截面六边形，设此时截面α与平面ABCD相交于NM，如图2.平面A1BD∥平面MNF，则MN∥BD.设CM＝x，则CN＝x，MN＝eq\r(2)x.则DM＝2－x，则ME＝(2－x)·eq\r(2)，所以MN＋ME＝2eq\r(2).同理可得，六边形其他相邻两边的和也为2eq\r(2).所以六边形的周长为定值6eq\r(2)，所以当六边形的边长相等，即为正六边形时，其面积最大．此时正六边形的边长为eq\r(2)，CM＝1，MN＝eq\r(2)，面积的最大值为6×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝3eq\r(3)，所以④正确，所以正确的是①④.故选A.3．(2022广东越秀区执信中学月考)(多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为HA．直线A1H与该正方体各棱所成角相等B．直线A1H与该正方体各面所成角相等C．垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D．过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形答案：ABD解析：连接A1C(图略)，根据正方体的体对角线与面对角线垂直，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1即AC⊥平面AB1D1，所以直线A1H与直线A1C重合．对于选项A：直线A1C与该正方体各棱所成角相等，所以直线A1H与该正方体各棱所成角相等，故选项A正确；对于选项B：因为直线A1C与该正方体各面所成角相等，所以直线A1H与该正方体各面所成角相等，故选项B正确；对于选项C：垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截正方体ABCD－A1B1C14．(2022浙江湖州月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是________边形．答案：五解析：正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，且MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，延长C1M交CD于P，延长C1N交CB于Q，连接PQ交AD于E，交AB于F，连接NF，ME，则正方体的过M，N，C1的截面图形是五边形C1MEFN.故答案为五．5．(2022贵州贵阳一中月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形答案：A解析：对于A选项，设正方体ABCD－A1B1C1D1设BE＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(1,2)))，∵平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面AEF∩平面AA1B1B＝AE，平面AEF∩平面CC1D1D＝FG，∴AE∥FG，同理得AG∥EF，若截面AEFG为正方形，则AE＝EF，过点E作EM∥BC交CC1于点M，易知BE＝CM.∵AE＝EF，则MF＝BE，∴CF＝2BE＝2a，AE＝EF＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(1＋a2)，AF＝eq\r(AC2＋CF2)＝eq\r(2＋4a2)，由勾股定理得AF2＝AE2＋EF2，即2＋4a2＝2＋2a2，解得a＝0?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以，截面不可能是正方形；对于B选项，由A选项可知，当CF＝2BE时，截面是不为正方形的菱形；对于C选项，如下图所示，当EF∥BC时，由于BC⊥平面ABB1A1，EF∥BC，∴EF⊥平面ABB1A1，∵AE?平面ABB1A1，∴EF⊥AE，∵平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面AEF∩平面AA1B1B＝AE，平面AEF∩平面CC1D1D＝DF，由面面平行的性质定理可得AE∥DF，∵AD∥BC，∴EF∥AD，AE＝eq\r(AB2＋BE2)>EF，此时，四边形ADFE为矩形但不是正方形；对于D选项，如下图所示，∵平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面AEF∩平面AA1B1B＝AE，平面AEF∩平面CC1D1D＝FG，由面面平行的性质定理可得AE∥FG，当BE>CF时，过点D作DH∥FG交CC1于点H，易知DH＝AE且FG<DH＝AE，此时，截面图形为梯形．故选A.研习2求截面面积问题6.(2022四川简阳阳安中学月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，则平面AD1A．4eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D.eq\f(9,2)答案：D解析：由题意可得，如图所示：因为E，F分别是B1C1，BB的中点，所以BC1∥EF.在正方体中，AD1∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝eq\r(2)，AD1＝2eq\r(2)，等腰梯形的高为eq\f(3\r(2),2)，所以等腰梯形AD1EF的面积S＝eq\f(?\r(2)＋2\r(2)?×\f(3\r(2),2),2)＝eq\f(9,2)，故选D.7．(2022福建泉州第十六中学月考)过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是()B.eqB.eq\r(2)C.eqC.\f(\r(3),2)D.eqD.\f(\r(6),2)答案：D解析：如图：在正方体中，取A1A，C1C的中点M，N，连接D1M，BM，BN，D1N，过D1B的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形D1MBN时，截面面积最小，S＝eq\f(1,2)|MN|·|D1B|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2)，故选D.8．(2022湖北武汉外国语学校月考)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D作平面α使α⊥BM，则平面A．4eq\r(2) B．4eq\r(5)C．8eq\r(5) D．16eq\r(2)答案：C解析：取AA1，BB1的中点分别为E，N，连接DE，CN，则EN∥DC，EN＝DC，所以四边形ENCD是平行四边形，由于△B1BM≌△BCN，所以∠MBB1＋∠BNC＝90°，所以BM⊥CN，又因为DC⊥BM，所以BM⊥平面ENCD，所以平面ENCD即为平面α，又CN＝2eq\r(5)，所以α的面积为2eq\r(5)×4＝8eq\r(5).故选C.9．(2022湖南株洲月考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，若0<CQ≤eq\f(1,2)，则S的面积取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(9,8)))解析：当CQ＝eq\f(1,2)，即Q为CC1的中点时，如图．可得PQ∥AD1，AP＝QD1＝eq\f(\r(5),2)，故可得截面APQD1为等腰梯形，S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(\r(2),2)))×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8).当点Q向C移动时，满足0<CQ<eq\f(1,2)，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，如图．截面四边形APQM在底面上投影为梯形APCD，面积恒为定值S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×1＝eq\f(3,4)，故当0<CQ≤eq\f(1,2)时，截面面积eq\f(3,4)<S≤eq\f(9,8)，故答案为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(9,8))).10．(2022山东潍坊月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BC，CC1的中点．则平面AEF截正方体所得的截面面积为________；以点E为球心，以eq\f(\r(10),4)为半径的球面与对角面ACC1A1的交线长为________．答案：eq\f(9,8)eq\f(\r(2)π,3)解析：如图，连接AD1，则EF∥BC1∥AD1，∴等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得截面图形．由正方体棱长为1，得AD1＝eq\r(2)，EF＝eq\f(\r(2),2)，AE＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2)，则E到AD1的距离为eq\r(\f(5,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，∴SAEFD1＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8).又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C过E作EH⊥AC于H，则EH⊥平面ACC1A1.∵E为BC的中点，∴EH＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(\r(2),4).以点E为球心，以eq\f(\r(10),4)为半径的球面与对角面ACC1A1的交线为圆弧，其半径为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(\r(2),2)，由CH＝eq\f(\r(2),4)，HN＝eq\f(\r(2),2)，得∠NHC＝eq\f(π,3)，∴∠MHN＝eq\f(2π,3)，所求交线为劣弧，长度为eq\f(2π,3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)π,3).研习3求截面周长问题11.(2022河北博野中学开学考试)如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点．过点B1，E，A．6eq\r(2)＋4eq\r(5) B．4eq\r(2)＋2eq\r(5)C．5eq\r(2)＋3eq\r(5) D．8eq\r(2)＋4eq\r(5)答案：A解析：由图，取DD1的中点F，连接AF，EF，显然EF∥AB1，则四边形AB1EF为所求的截面．因为D1E＝C1E＝2，所以B1E＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，AB1＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，EF＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，AF＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以截面的周长为6eq\r(2)＋4eq\r(5).12．(2022黑龙江龙凤区大庆四中月考)在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，A．3eq\r(13)＋6eq\r(2)B．2eq\r(13)＋4eq\r(3)C．5eq\r(13)＋3eq\r(3)D．6eq\r(13)＋3eq\r(2)答案：D解析：如图，延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1于G，可得截面五边形AHFEG.∵ABCD－A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，∴EF＝3eq\r(2)，AG＝AHeq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，EG＝FH＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).∴截面的周长为6eq\r(13)＋3eq\r(2).故选D.13．(2022广东濠江区金山中学月考)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面n边形(其中n≥3，n∈N＋)的周长的取值范围是________．答案：{3eq\r(2)}解析：如图所示，因为正方体的棱是三组平行的棱，所以平面α只需要和正方体某一个顶点引出的三条棱所成的角相同即可．取顶点B1，此时三棱锥B1－A1BC1为正三棱锥，显然B1A1，B1C1，B1B与平面A1BC1所成的角相同，所以平面α∥平面A1BC1.在棱AA1上取一点M1，作M1M2∥A1B交AB于M2，同理依次可作出点M3，M4，M5，M6，依次连接M1，M2，M3，M4，M5，M6构成六边形，记此时的六边形平面为α，设AM1＝x(0<x<1)，所以M1M2＝M3M4＝M5M6＝eq\r(2)x，M2M3＝M4M5＝M1M6＝eq\r(2)(1－x)，所以截面的周长为：3×eq\r(2)x＋3×eq\r(2)(1－x)＝3eq\r(2)，故答案为{3eq\r(2)}．研习4截面与其它知识的综合应用14.(2022安徽太和中学月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，FA.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(23,49) D.eq\f(25,47)答案：D解析：如图，可以作出截面D1MEFN，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，延长D1M交DA的延长线于点K，连接KE，延长D1N交DC的延长线于点L，连接因为E，F分别为棱AB，BC的中点，M，N分别为两棱的三等分点，所以AK＝CL＝3，AM＝CN＝2，VD1－DKL＝eq\f(1,3)×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×9×9))＝81，VM－AKE＝VN－CFL＝eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×3))＝3，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81－6＝75，另外一部分的体积为216－75＝141，所以体积的比值为eq\f(75,141)＝eq\f(25,47).15．(2022黑龙江哈尔滨第六中学校模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的