第七章-不可压缩流体动力学基础.ppt

1、第七章 不可压缩流体 动力学基础,第七章 不可压缩流体动力学基础,7.1 流体微团的运动分析,7.2 有旋流动,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,7.4 以应力表示的粘性流体的运动微分方程式,7.5 应力和变形速度的关系,7.6 纳维-斯托克斯方程,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,7.8 流体流动的初始条件及边界条件,7.9 不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件,刚体:,流体:,具有流动性，极易变形。,移动（move） 线速度 Vx Vy Vz,转动 (rotation) 角速度x y z,移动（move） 线速度 Vx Vy Vz,转动 (rotation) 角速度x y z

2、,变形（reform） 线变形 角变形,7.1 流体微团运动的分析,7.1 流体微团运动的分析,一.流体微团的概念 在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小，可视为只有质量而无体积的“点”，流体微团则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。,刚体运动:,移动、转动,流体运动:,移动、转动、变形,流体运动方式,平移 线变形 角变形 转动,实际流体的流动是这几种运动方式的组合,控制体的选取:,边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。,形心处速度： vx,vy,vz,E点处速度：,二、流体微团上各点速度的表示,7.1 流体微团运动的分析,7.1 流体微团运动的分析,各角点处x方向速度：,

3、三.流体微团运动分析与分解： 现以二元流动情形为例进行分析。 假设流体在平面运动。于时刻t，在流场中任意选取一个方形平面流体微团ABCD，轴向边长分别为dx、dy，设顶点A坐标为（x,y），流速分量为u ,v。 利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点的速度分量。,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分析与分解,以平面运动为例,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分解(续),1.移动,各角点的速度分量中都包含u,v,x方向移动速度：,u,z方向移动速度：,w,y方向移动速度：,v,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分解(续),1.移动,各角点的速度分量中

4、都包含vx,vy,x方向移动速度：,vx,z方向移动速度：,vz,y方向移动速度：,vy,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分解(续),2.线变形运动,A和D、B和C间的x向速度分量差:,x方向线应变速度：,z方向线应变速度：,y方向线应变速度：,C和D、B和A间的y向速度分量差:,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分解(续),3.角变形运动和旋转,A和D、B和C间的y向速度分量差:,C和D、B和A间的x向速度分量差:,结果:,(1)AD边和BC边逆时针旋转微元角度,(2)AB边和DC边顺时针旋转微元角度,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分解(续),3.角

5、变形运动和旋转(续),(1)角变形运动,角变形,角变形速度:每秒内一个直角的角度变化量,7.1 流体微团运动的分析,三、流体微团运动的分解(续),3.角变形运动和旋转(续),(2)旋转运动,旋转,旋转速度:每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值,图7-2 微团旋转运动分析,液体质点运动的基本形式,位置平移,线变形,角变形,角变形,旋转运动,ux，uy，uz,线变形速率,角变形速度,旋转角速度,7.1 流体微团运动的分析,四、有旋流动 无旋流动,流体微团的旋转角速度不等于零的流动,流体微团的旋转角速度等于零的流动,有旋流动:,无旋流动:,无旋流动,有旋流动,有旋流动和无旋流动的

6、定义,流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图 (a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图 (b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿

7、童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。,无旋流动,有旋流动,7.2 有旋流动,一、涡线,一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相平行。,涡线的微分方程,7.2 有旋流动,二、涡管,在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭周线，通过封闭周线上每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面。,三、涡束,涡管中充满着作旋转运动的流体,四、涡通量,旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。,7.2 有旋流动,五、速度环量,速度在某一封闭周线上的线积分。,速度环量是标量，其正负号不仅与速度

8、的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。,7.2 有旋流动,六、斯托克斯定理,沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。,汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理,用来描述旋涡运动特性的两个定理，适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( ) 3. 在有势质量力作用下 首先引出流体线的概念。 流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段 在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成。,7.2 有旋流动,七、汤姆孙定理,正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。,7.2 有旋流动,八、亥姆霍兹旋涡

9、定理,1.亥姆霍兹第一定理,在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同,由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。,7.2 有旋流动,八、亥姆霍兹旋涡定理,2.亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）,正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。,7.2 有旋流动,八、亥姆霍兹旋涡定理,3.亥姆霍兹第三定理涡管（强度守恒定理）,在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。 在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时

10、才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中产生也会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根本原因。,无旋流与有旋流,按液体质点本身有无旋转,无旋流,有旋流,即有,区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动,无旋的圆周运动,有旋的圆周运动,例39 已知流体流动的流速为 ，试判断该流动是无旋流还是有旋流？ 解 所以此流动为无旋流。,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,控制体的选取:,边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。,形心坐标： x, y, z,三方向速度： u , v , w,密度：,一、微分形式的连续方程,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,x轴方向流体质量的流进和流出,左面微元面积流入的流体

11、质量：,右面微元面积流出的流体质量：,x轴方向流体的净流出量：,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,y轴方向流体的净流出量：,同理, y、z轴方向流体质量的流进和流出,z轴方向流体的净流出量：,x轴方向流体的净流出量：,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,每秒流出微元六面体的净流体质量,微元六面体内密度变化引起 的每秒的流体质量的变化,微分形式的连续方程,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,二、其它形式的连续方程,矢量形式：,可压缩流体的定常流动：,不可压缩流体的定常或非定常流动：,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,二、其它形式的连续方程（续）,二维可压缩流体的定常流动：,二维不可压缩流体的

12、定常或非定常流动：,例0：已知速度场 此流动是否可能出现？,解：由连续性方程：,满足连续性方程，此流动可能出现,例题1,例1 已知平面流动的流速分布为 ux =kx uy =-ky 其中y0，k为常数。试求：流线方程；迹线方程。 解据y0知，流体流动仅限于xy半平面内，因运动要素与时间t无关，故该流动为恒定二元流。 流线方程： 积分得： 该流线为一组等角双曲线。,例题1,迹线方程： 积分得： 与流线方程相同，表恒定流动时，流线与迹线在几何上完全重合。,例题2,例2假设不可压缩流体的流速场为 ux=f(y,z), uy=uz=0 试判断该流动是否存在。 解判断流动是否存在，主要看其是否满足连续性

13、微分方程。,例题3,例3 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩前后断面平均流速之比V1/V2=?,解,据恒定不可压缩总流的连续性方程有 V1 /V2 =(d2 /d1 )2=4,例4：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。,解：由 得,积分,由z=0，uz=0 得 c=0,解：由所给流速条件可知，流速与时间无关， 故液流为恒定流，流线与迹线重合。,流线方程式为,积分得,所以液体质点无线变形。,无角变形,无旋转,所以该流动为恒定平面直线均匀流，液体质点无变形运动。,无旋流与有旋流,按液体质点本身有无旋转,无旋流

14、,有旋流,区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动,无旋的圆周运动,有旋的圆周运动,一、 粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。 在粘性流体表面上任取一点N，过N作微元面积A， 其外法线方向矢量为 ，切线方向为 ，N点的表面应力 分为法向应力pn和切向应力，pn和随微元面积A在空间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和沿x，y，z三个坐标轴分解成9个应力分量，即 。,7.4 以应力表示的粘性流体运动方程式,（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线的指向。）在这9个分量中， ， ， ，因此只有6个独立分量。,二 粘性流体的运

15、动方程,在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行 于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、 dy、dz，表面应力在y轴上分量如图。 y轴上合力为： （1）,流体微团质量与y轴加速度的乘积为 （2） 由牛顿第二定律（1）=（2），化简,对于x、z轴同理有 （3） 方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通 常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应 包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程 （3）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须 找出新的补充关系式。,7.5 应力与变形速度的关系,由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 在层流中取正方形流体微元面积abc

16、d，流层间存在相对速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成abcd，ab边线的转角为 ， ，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成,流体微团绕z轴的剪切角速度为 流体微团各表面上的切应力为 法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中， 法向应力用平均值p作为某点的压力 可 认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加 压应力，即 ， ，,附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到: 上式称为广义牛顿内摩擦定律。 因此 由不可压缩流体的连续性方程 ，将该方程中三个式子相加后平均得到，正好验证了前面的论述。,7.6 Navier-Stokes方程,将方程（5）、(7)代入方程（3），对于x轴

17、方向的方程为： 化简方程右边第三项引入Laplace算子 ， 第四项由连续性方程判断应该等于0，最后得到,上式就是不可压缩流体的Navier-Stokes方程，简称N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组，目前尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解。,7.7 理想流体运动微分方程 及其积分,流体为理想流体时，运动粘度，NS方程简化为,如流体处于静止状态，则,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,一、两个积分方程式的前提条件,(1)流动是定常的,(2)质量力是有势的,(3)流体不可压缩， 流体是正压流体,1.前提条件,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,一、两个积分式的前提条件

18、(续),2.常见的正压流体,(1)等温流动的可压缩完全气体,(2)绝热流动的可压缩完全气体,(3)不可压缩流体,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,一、两个积分式的前提条件(续),3.前提条件下的兰姆方程,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,二、欧拉积分式,无旋流动,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,二、欧拉积分式(续),方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx, dy, dz后再相加,欧拉积分式,物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作无旋流动，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。,三、伯努利积分式,有旋流动,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,7.7 理想流体运动微分方程及其积分,三、伯努利积分式(续),方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个轴向分量dx, dy, dz,三式相加,7.7 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程,三、伯努利积分式(续),伯努利积分式,物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在 有势的质量力作用下作有旋流动时，沿同一条流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。,7.7 理想流体运动微分方程及