函数单调性与极值的判别

1、三、最大值与最小值,二、极大值与极小值,2.4.1,函数单调性与,极值的判别,一、函数单调性,一、 函数单调性,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,导数为零的点可能是单调区间的分界点,说明:,单调区间的分界点除导数为零的点外,也可能是不可导点.,例如,2) 如果函数在某导数为零的点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,例2. 证明,时, 成立不等式,二、极大值与极小值,定义:

2、,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不可导点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,定理 2 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,回忆费马引理,导数为零的点即 的实根叫做 的驻点.,驻点一定是极值点吗？,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极

3、大值为,是极小点，,其极小值为,求极值的一般步骤：,(1)求,(2)求驻点及不可导点,(3)检查 在驻点及不可导点左右的正负号, 判断极值点,(4)求极值,练习. 求函数 的单调区间与极值,练习. 求函数 的单调区间与极值,定理3(极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,注：,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,驻点,端点,端点和不可导点,则其最值可能,在驻点、不可导点或区间端点处取得 .,三、最大值与最小值,求函数最值步骤:,1.求驻点和不可导点;,

4、2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值.,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点 .,(小),解,计算,例3.,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套

5、，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,例,解,如图,解得,( k 为某一常数 ),练习 . 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,20km,公路,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,驻点或不可导点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .