初三上专题四点共圆

1、。 四点共圆专题讲义 例 1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点求证：E、F、G、H四点共圆 例 2 （1）如图，在ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，A=60求证：ED= （2）已知：点O是ABC的外心，BE，CD是高求证：AODE 1 BC 2 例 3如图，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆 -可编辑修改- 。 ADC=ABC=90ACD=ABD=90OA=OB=OCB+D=180或A=D或B=C A+BCD=180或 A=DCE 总结：四点共圆的方法： 1_ 2_ 3_ 4_ 例 4求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中A

2、BCD+BCAD=ACBD 练习 1在ABC中，BA BC，BAC ，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转 2 得到线段PQ （1）若60且点P与点M重合（如图 1） ，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度 数； （2）在图 2 中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数 式表示） ，并加以证明； （3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与 射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围 -可编辑修改- 。 练习 2在ABC中，A=

3、30，AB=2 3，将ABC绕点B顺时针旋转（090） ，得到DBE，其中点A 的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF. （1）如图 1，若=60，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全DBE，并直接写出AFB的度数； （2）如图 2，若=90，求AFB的度数和BF的长； （3）如图 3，若旋转（090） ，请直接写出AFB的度数及BF的长（用含的代数式表示）. D C C C D D F F A AA BB B 图 3图 1 图 2 E E 练习 3已知，点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线 ON于点B，且使A

4、PB+MON=180 （1）利用图 1，求证：PA=PB； （2）如图 2，若点C是AB与OP的交点，当SPOB=3SPCB时，求PB与PC的比值； （3）若MON=60，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且PBD=ABO，请借助图 3 补全图形，并求OP长 -可编辑修改- 。 练习 4已知，在ABC中，AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角 ，直线 a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN， 连接CN （1）当BAC=MBN=90时， 如图a，当 =45时，ANC的度数为_ ； 如图b，当

5、 45时，中的结论是否发生变化？说明理由； （2）如图c，当BAC=MBN90时，请直接写出ANC与BAC之间的数量关系，不必证明 练习5已知：RtABC和RtABC重合，ACB=ACB=90，BAC=BAC=30，现将RtABC绕 点B按逆时针方向旋转角（6090），设旋转过程中射线CC和线段AA相交于点D,连接BD （1）当 =60时，AB过点C，如图 1 所示，判断BD和AA之间的位置关系，不必证明； （2）当 =90时，在图 2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图 3，对旋转角 （6090），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论

6、；若不 成立，请说明理由 -可编辑修改- 。 图 1图 2图 3 练习 6 在等边ABC外侧作直线AP， 点B关于直线AP的对称点为D， 连接AD，BD，CD， 其中CD交直线AP于点E 设 PAB，ACE，AEC (1) 依题意补全图 1； (2) 若15，直接写出和的度数； (3) 如图 2，若 60120，判断，的数量关系并加以证明； 请写出求大小的思路 （可以不写出计算结果） 练习 7阅 A A 读下面材料： 小 红遇到这样一个问题， 如 且BAC=45，求线段 图 1 图 2 P B A C AC P B A A A A 图 1：在ABC中，AD AD的长 F FO O BC，BD=

7、4，DC=6， -可编辑修改- B B D D 图1 C C B B D D E E 图2 C C B BD D 图3 C C 。 小红是这样想的： 作ABC的外接圆O，如图 2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系， 可以知道BOC=90， 然后过O点作OEBC于E，作OFAD于F，在RtBOC中可以求出O半径及OE，在RtAOF中可以求出AF，最 后利用AD=AF+DF得以解决此题 请你回答图 2 中线段AD的长 . 参考小红思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3：在ABC中，ADBC，BD=4，DC=6,且BAC=30，则线段AD的长 . 练习 8已知：A、B、C三点不在同一直线上 (1)

8、若点A、B、C均在半径为R的O上， （i）如图，当A=45，R=1 时，求BOC的度数和BC的长； （ii）如图，当A为锐角时，求证：sinA= BC ； 2R (2)若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN(B、C均与A不重合)滑动，如图，当MAN=60，BC=2 时， 分别作BPAM，CPAN， 交点为P， 试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由 练习 9在四边形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分别在AD，BC上，DAM=CBK 求证：DMA=CKB -可编辑修改- 。 分析：连KM，由DAM=CBK，得到A，B，M，K四点共圆，则DAB=CMK，AKB=AMB，而DAB+ADC=180， 得到CMK+KDC=180，因此C，D，K，M四点共圆，所以CMD=DKC，即可得到DMA=CKB 解答：解：连KM， DAM=CBK， A，B，M，K四点共圆， DAB=CMK，AKB=AMB， 又ABDC， DAB+ADC=180， CMK+KDC=180 C，D，K，M