山东省济宁一中09年高考数学（人教A版选修2-2）第一轮复习教学案：第三章数系的扩充和复数的引入（通用）

1、第三章是数制的扩展和复数的引入课程标准研究课程标准要求1.复数的概念(1)理解复数的基本概念。理解复数相等的充要条件。理解复数的代数表示及其几何意义。2.复数的四种运算将执行四个复代数形式的运算。理解复数代数形式的加减运算的几何意义。命题前景本章主要讨论高考中的选择题及解决方法。选择题主要考查：(1)复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、自变量主值、复数的等式、共轭复数等。(2)代数形式的复数的基本运算，包括复数、幂和平方运算的四种运算，以及代数形式的基本运算的技巧和技巧等(1)与基本计算相关的问题；(2)复模量最大值的相关问题；(3)与复数的几何意义有关的问题。答案问题主

2、要包括：(1)在复数集合中求解二次方程和二项式方程；(2)复数运算；(3)复数、代数、几何和三角形的综合知识应用。高考的常见类型有：(1)求解复杂方程；(2)求复数模和的问题；(3)与复数、代数几何和三角形相关的综合问题。从以上可以看出，高考往往侧重于复数运算，预计这种命题趋势将会持续下去。在复习过程中，我们应该注意复数和相关知识之间的联系。复数可以转化为三角问题，实数中的代数问题，平面几何问题。在复习过程中，要充分利用相关知识，实现问题的转化。例如，求模的最大值可以采用以下思维方法：求三角函数的最大值，求实数的最大值，利用模是实数的性质，| | Z1 |-| Z2 | | Z1Z2 | |

3、Z1 | | Z2 |，将其转化为平面几何问题。通过不同的观察和分析角度，产生不同的解题思路和方法，提高学生对数学算法的合理应用水平。虽然复杂测试的难度很低，但它非常灵活，具有生活但不困难的特点，而且它往往是新的，这就要求有灵活处理问题的能力。因此，在复习中，我们要注意基础，掌握复数和复数运算的概念，掌握一些常见虚数的运算性质。目前，我们还应注意数形结合的思想和复数问题的实数方法。首先，复数的相关概念和几何意义知识梳理知识清单1.复数的相关概念(1)复数的单位是，它的平方等于，也就是说，(2)复数：形式为(其中)的数，称为复数，称为复数。那个时候，复数是实数，那个时候，复数是虚数；当和时，复数

4、是。(3)两个复数的定义(其中)，尤其是(4)如果两个复数不都是实数，则不能比较它们的大小。2.复数的几何意义(1)复数与复平面上的点一一对应。(2)在复平面中，实轴上的所有点都被表示；除此之外，虚轴上的所有点都代表。(3)复数一一对应于平面向量(其中O是坐标的原点)。(4)向量的模称为复数，表示为，和(5)相等的向量代表复数。特别提醒1.复平面上两点之间的距离公式为，其中复平面上的两点及其对应的复数表示和之间的距离。例如，圆心和半径在复平面上的圆的复方程：表示线段的垂直平分线的方程1.(2020年全国第一卷)如果复数是实数，则实数等于()a1 B- 1 c d2.(北京卷2020)在复平面中

5、，对应于复数的点位于()A.第一象限第二象限第三象限第四象限3.让复数=- I，然后1 =()A.b .2C。D.4.给定集合m=1，n=1，3，mn= 1，3，实数m的值是()(a) 4 (b)-1 (c) 4或-1 (d) 1或65.众所周知，Z是一个复数，z 2i是一个实数(I是一个虚数)，复数(z ai)2在复平面上的对应点在第一象限，那么实数A的取值范围是6.复数的乘积是实数的充要条件是。典型案例分析例1。让它成为一个虚单位，并找到最小的正整数值。分析可以先找到复数，然后逐一计算验证，从而找到最小值；它也可以根据幂的周期性来求解。解决方案解决方案1:因为，所以，那么，最小值为12。解

6、决方案2:因为(即，幂的周期是4)，(即，幂的周期是3)，考虑两个幂的最小公倍数12。因此，最小的正整数n是12。警告本主题主要研究复数的乘法以及两个常用虚数和的相关性质。对于虚数单位，其幂的值是周期性的，并且具有：复数是1的虚拟立方根，它的幂值是周期性的和令人满意的。使用这些属性可以很容易地解决一些问题，例如当时集合中只有一个元素。变体培训:1.序列被满足并且值被获得。例2。当设置一个复数并试图找出m取什么值时，(1)Z是实数；(2)Z是一个纯虚数；(3)对应于Z的点位于复平面的第一象限？【分析】本课题是判断在什么情况下复数是实数、虚数和纯虚数。由于给定的复数是以标准形式书写的，即形式，实部

7、和虚部应根据题目要求分别处理。解决方案对应于Z的点位于复平面的第一象限。警告由于主题是以复数的标准形式书写的，即根据时间的形式，复数是实数；当和时，复数是纯虚数；此外，主体还考察了复数的几何意义，即复数与复平面上的点一一对应，主体的解可以根据定义得到。变体培训2.让复数z=，当x是实数时，z是(1)实数。虚数？(3)纯虚数？(4)复平面上Z的对应点在实轴之上？|z|=1？例3。在复平面上，正方形的四个顶点依次是Z1、Z2、Z3、o(其中o是原点)逆时针方向。已知Z2对应于复数z2=1 i，因此找到对应于Z1和Z3的复数。分析因为复数对应于复平面上向量的坐标，所以对应于Z1、Z2和Z3的复数可以

8、在复平面上表示，然后向量的共线性可以用来处理这个问题。解决方案解决方案1:如图所示，如果z1和z3对应的复数分别为Z1和Z3，则复数的乘法和除法的几何意义为Z1=Z2 cos () isin ()=z3=。解决方案2:让z1和z3对应的复数分别为Z1和Z3。根据复数加法和乘法的几何意义，根据问题的意义， Z1=Z2 (1-I)=(1-I) (1-I)=Iz3=z2-z1=(1+i)-(i)=i【注意】本主题主要考察复数的基本概念、几何意义和运算能力。本主题以复平面上的简单几何图形为基础，探讨复数的向量表示和复数的几何意义的基本知识。它注重理解和掌握概念和性质，以及运算能力和变换的思想，对复数教

9、学有很好的指导作用。变体培训3.让复数z满足| z |z|=5，复平面上(3 4i) z的对应点在第二个和第四个四边形的平分线上分析根据复模数的定义，可以知道| Z1 | | Z2 |，即X4x21 (X2a) 2，因此，问题转化为一维二次不等式。解决方案解决方案：| Z1 | | z2 |， X4x21 (X2a) 2 (1-2a) x2 (1-a2) 0适用于x R。当1-2a=0，即a=，不等式成立；当1-2a 0，-1 a 总而言之，a (-1，【警告】利用复数性质求模后，本课题转化为求带参数的二次不等式的参数范围。此外，本主题还探讨了分类讨论的思想，这是解决问题的重要策略和方法，并且

10、可以简化复杂的问题。这种分类讨论的想法经常用于复杂的问题。变体培训4.假设z是一个虚数，w=z是一个实数，并且-1 0)，z=x yi和=x y I是已知的，其中x，y，x ，y 都是实数，I是虚数，对于任何复数z，都有=，| |=2 | z |。(一)试着找出m的值，写出分别用x和y表示的x和y的关系表达式；()取(x，y)为点p的坐标，取(x，y)为点q的坐标，上述关系可视为坐标平面上的点的变换：它将平面上的点p变换为该平面上的点q。当点p在直线y=x 1上移动时，试着在点p变换后找到点q的轨迹方程；(三)有直线吗：经过上述变换后，从直线上任何一点得到的点仍在直线上？如果存在，试着找到所有

11、这些直线；如果不存在，解释原因。第二，复数的四种运算知识梳理知识清单1复数的加、减、乘和除运算复数的加、减、乘和除运算是根据下列规则进行的：加法和减法：所以有乘法：部门：复数的加法和乘法满足，组合律和乘法的加法和减法，实数的正整数的指数运算也可以推广到复数集合。也就是说，2.复数的共同性质(1)(2)如果，那么3.代数基本定理：任何复数系统的多项式至少有一个复数根。从代数的基本定理，我们可以得到以下结论：(1)任何次复多项式都可以分解为的乘积，然后次多项式有一个复根(多个根被计为多个数)；(2)如果虚数是具有实系数的一元方程的根，那么它也是该方程的根，即“虚根成对出现”；(3)根据根与系数的关系，复集合C中实系数一元二次方程的根为0是容易得到的4.虚数和纯虚数的概念混淆了复数表示纯虚数的充要条件是：5.如果方程是已知的，那么特别提醒1.复数的代数运算类似于多项式运算，加法类似于合并，相似的术语，乘法类似于多项式乘法，除法类似于分母合理化(实数)，但复数的运算有其独特的技巧。在求解计算时，我们应该灵活地使用这些性质，或者适当地变形，创造条件，然后把它们转化为有关的计算问题。2.当解决复数问题时，我们应该学会从整体的角度分析和解决它