天津市第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试卷 文（含解析）（通用）

1、2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题）1.已知集合，则集合（ ）A.B. 2，C. 1，D. 【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合【详解】集合，或，集合故选：A【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用2.执行如图所示的程序框图，则输出b的结果是A. 2B. 2C.D. 100【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，从而计算得解【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：故选：B【

2、点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，考查了对数的运算，是基础题3.在等比数列中，则“，是方程的两根”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而充分不条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据韦达定理得，再根据等比数列性质求，最后确定充要关系.【详解】因为，是方程的两根，所以，因此,因为0，所以从而“，是方程的两根”是“” 充分而不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非， 与非非， 与非非

3、的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件4.对于任意，函数满足，且当时，函数，若，则a，b，c大小关系是A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小【详解】对于任意函数满足，函数关于点对称，当时，是单调增函数，在定义域上是单调增函数；由 bac故选：A【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题5.如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是A.B.C.D. 【答案】C

4、【解析】【分析】由二次函数图象的对称轴确定b的范围，根据的表达式计算和的值的符号，从而确定零点所在的区间【详解】，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴，,在上单调递增且连续，函数的零点所在的区间是故选：C【点睛】本题考查导数的运算、函数零点的判定定理的应用，解题的关键是确定b的范围6.已知函数，若，且在区间上有最小值，无最大值，则A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，可得在处取得最小值可得：，对k赋值，找到满足条件的的值即可【详解】函数，由，在区间上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，可得在处取得最小值可得，化简可得：,当时，当时，考查此时在区间内已存在最大值故选：B【点睛】本

5、题考查三角函数的性质的综合运用，考查了分析问题的能力，属于中档题7.已知矩形ABCD，点P为矩形内一点，且，则的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】B【解析】分析：通过建立平面直角坐标系，写出各点坐标；因为，所以点P在单位圆上；根据三角函数定义，设出P点坐标。由向量的加法、乘法坐标运算，可求得三角函数表达式，根据三角函数中角的范围即可求得最大值。详解：以点A为原点，AB所在直线为为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系因为，所以点P在第一象限内的单位圆上则 所以根据三角函数定义，设P ， 则 所以 当时，取得最大值为2所以选B点睛：本题考查了三角函数、向量在几何中的综合应用，

6、建立坐标系、用坐标方法研究是常用方法，属于中档题。8.已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数m的取值范围是A.B.C.D. 【答案】B【解析】由得：，即设，则由可得，即由可得，即即当时，函数取得极大值在同一平面直角坐标系中作出，的大致图象如图所示：当时，满足的整数解超过两个，不满足条件当时，要使的整数解只有两个，则需满足，即，解得即即实数的取值范围为故选点睛：本题主要考查的知识点是函数，不等式的性质，利用数形结合以及构造法求解，根据不等式的关系转化两个函数的大小关系，构造函数，利用的整数解只有两个，建立不等式关系进行求解即可，解决本题的关键是利用数形结合建立不等关系。二、填空题（本大题共6小

7、题）9.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为_【答案】3【解析】由题意： ，满足题意时有： .10.已知数列的前n项和为，且，时，则的通项公式_【答案】.【解析】由得又，又，数列是首项为3，公差为2的等差数列，当时，又满足上式，.答案：11.如图，在中，D为BC边上的点，且，则_【答案】1【解析】【分析】由，可得，且为的中点，且易求得，而代入即可得结果.【详解】，且为的中点，在直角三角形中可求得，故答案为1.【点睛】本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化是解决问题的关键，属基础题12.已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为_【答案】9【解析】 由数列的前项和

8、为，则当时， 所以， 所以数列的前和为， 当时， 当时， 所以满足的最小的值为. 点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.13.已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知有解，即方程有解，即有解，设，则，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，的值域为，的取值范围是，故答案为.14.已知平面直角坐标内定点，和动点，若，其中O为坐标原点，则的最小值是_【答

9、案】.【解析】分析：利用向量知识，确定P、Q的轨迹方程，进而利用点到直线的距离公式，即可求的最小值详解：动点A（1，0），B（1，0），P（x1，y1），（x1+1，y1）（x11，y1）=1P的轨迹是个半径为、圆心在原点的圆Q，M，N三点共线M（4，0），N（0，4）Q的轨迹方程为直线MN：x+y4=0的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即=故答案为：点睛：本题以平面向量为载体，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，确定P、Q的轨迹方程是关键三、解答题（本大题共6小题）15.设函数求函数的最小正周期求函数的单调递减区间；设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求【答案】（1）（2）减区间为

10、，（3）【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得的值【详解】函数，故它的最小正周期为对于函数，令，求得，可得它的减区间为，中，若，若，为锐角，【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题16.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性不高61925合计24

11、2650如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果；在的条件下，求事件B：两名学生中恰有1名男生的概率【答案】(1) (2)见解析；(3)【解析】【分析】名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，由此能求出事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活

12、动，能用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果事件B：两名学生中恰有1名男生，则事件B包含的基本事件有10种，由此能求出事件B：两名学生中恰有1名男生的概率【详解】名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活动，用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果有21种，分别为：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，c

13、e，de事件B：两名学生中恰有1名男生，则事件B包含的基本事件有10种，分别为：Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，事件B：两名学生中恰有1名男生的概率【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17.已知函数求的对称轴所在直线方程及其对称中心；在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，求周长的取值范围【答案】（1）对称轴方程为，对称中心为，（2）【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；（2）由，求得，再由余弦定理得的

14、等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得的取值范围，从而得周长范围详解：（1）由，的对称轴方程为，由，的对称中心为，（2），得：，又，点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：，由正弦定理得：，的周长范围为18.已知在时有极值0。（1）求常数的值；（2）求的单调区间。（3）方程在区间-4,0上有三个不同的实根时实数的范围。【答案】【解析】本试题主要是考查极值的概念的运用，以及运用导数求解函数的单调区间，并能进而确定方程的根的问题，通过函数的图像的极值情况，分离参数法求解参数的取值范围，转换为两个图像的交点问题来解决，这种思想尤为重要。解：当时，故方

15、程有根或6分x00极大值极小值由表可见，当时，有极小值0，故符合题意 8分由上表可知：的减函数区间为的增函数区间为或9分因为，由数形结合可得19.已知等比数列的公比，且，求数列的通项公式；设，是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；（）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围试题解析：（）设数列的公比为，则， ，数列的通项公式为 （）解： =对任意正整数恒成立，设，易知单调递增 为奇数时，的最小值为，得， 为偶数时，的最小值为， 综上，即实数的取值范围是20.已知函数，记为的导函数.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）讨论的解的个数；（3）证明：对任意的，恒有.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得；（2）由题意可得：，令，求出导数、单调区间和极值、最值，讨论的取值范围，即可得到解得个数；（3）令，利用导数可判断在单调递减，结合，可得结果.试题解析：（1）由已知可得，函数的定义