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1、第3讲推理与证明(推荐时间:60分钟)一、填空题1已知整数对排列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第62个整数对是_2已知数列an的前n项和Snn2an(n2),而a11,通过计算a2,a3,a4,猜想an_.3用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是_(填序号)假设a,b,c都是偶数假设a,b,c都不是偶数假设a,b,c至多有一个是偶数假设a,b,c至多有两个是偶数4(2020江西改编)观
2、察下列各式:7249,73343,742 401,则72 011的末两位数字为_5已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)f(x2)13,若f(1)2,则f(2 011)_.6观察下列不等式:1,11,1,12,1,由此猜想第n个不等式为_7观察下列各式:11,2349,3456725,4567891049,则由此可归纳出n(n1)(n2)(3n2)_.8(2020北京)设A(0,0),B(4,0),C(t4,3),D(t,3) (tR)记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N(0)_;N(t)的所有可能取值为_9在公比为4的等比数
3、列bn中,若Tn是数列bn的前n项积,则有,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列an中,若Sn是an的前n项和,则有_也成等差数列,该等差数列的公差为_10若数列an的通项公式an,记f(n)2(1a1)(1a2)(1an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)_.11(2020山东)设函数f(x)(x0),观察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)f(fn1(x)_.12已知2,3,4,若6 (a,t均为正实数),类比以上
4、等式,可推测a,t的值,则at_.二、解答题13在数列an中,a11,当n2时,其前n项和S满足San.(1)求,并求(不需证明);(2)求数列an的通项公式. 14观察下列三角形数表假设第n行的第二个数为an(n2,nN*), (1)依次写出第六行的所有6个数字;(2)归纳出an1与an的关系式并求出an的通项公式15已知数列an中,a428,且满足n.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通项公式并证明答 案1(7,5)2.3.4.435.6.17(2n1)28.66,7,89S20S10,S30S20,S40S3030010. 11. 124113解(1)当n2时,由anSnSn1和
5、San,得S(S2S1),得23,由S(S3S2),得25,由S(S4S3),得27,由S(SnSn1),得22n1.(2)由(1)知,Sn,当n2时,anSnSn1,显然,a11不符合上述表达式,所以数列an的通项公式为an14解(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意an1ann(n2),a22,ana2(a3a2)(a4a3)(anan1)223(n1)2,所以ann2n1(n2)15解(1)n. 当n3时,3.a428,a315;当n2时,2.a315,a26;当n1时,1.a26,a11.(2)猜想ann(2n1)当n1时,a11,而a11(211)1,等式成立假设当nk时,等式成立,即akk(2k1)则当n
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