高一数学判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解教案（通用）

1、1 .教育内容：判定方程解的存在性，用二分法求方程的近似解【本话的主要内容】利用函数性质判定方程式解的存在性，利用二分法求出方程式的近似解二、学习目标1 .进一步认识函数和方程的关系，求方程f(x)=0的实数解通过求函数y=f(x )的零点来获得函数知识的核心作用2 .可以利用函数的性质判定方程解的存在性3 .可以利用二分法求方程式的近似解，认识到求方程式近似解的方法的意义4 .通过近似计算的学习感受到近似思想、近似思想和算法思想等数学思想的意义和作用。三、知识要点1，函数的零点：函数y=f(x )的图像和横轴交点的横轴称为该函数的零点。注意：函数的零点是实数，不是点定义表明，函数y=f(x

2、)的零点实际上是方程式f(x)=0的解的方程式的问题成为求函数零点的问题。2、连续曲线：本论文中处理的“连续曲线”是不定义的概念，也就是说学生们可以根据自己的知识基础和生活经验，结合具体的函数图像，判断它是否连续，例如反比例函数的 1，2 上的图像是连续的。 我们所说的“连续曲线”是指闭合区间a，b上的东西。3、存在性命题的证明：一般有构造法和非构造法两种想法。 结构法基于问题意义构建了满足条件的数学对象，已经被构建，必然存在的非结构法，必然存在逻辑上证明条件的数学对象，但实际的对象没有被构建。 本课为了判断方程式解的存在性而采用非构造法。4 .利用函数性质确定方程式解的存在性：当闭区间a，b

3、上的连续函数f(x )满足条件f(a)f(b)0时，方程式f(x)=0必定存在于a，b上。 但是，实数解的个数很难判定。 函数在a，b中存在实数解不表示函数是a，b中连续的，并且不一定满足条件f(a)f(b)0。5、通过设计以下活动，了解二分法处理问题的基本思想活动任务：提问不超过3次，确定学生的年龄活动规则：对于提问，提问者只回答“是”或“否”。合理的假设：高学生年龄在1420岁(包括)之间。提问和回答过程的模拟图如下所示思考：为什么第一个问题选了17岁？ 这样做有什么好处？用六、二分法求方程f(x)=0的近似解步骤1 :选择初始区间a，b，并将f (a )至f (b ) 0设为0在步骤2中

4、，判断f(m )是否为零，如果m不是求出的解，则从f(a )、f(b )中选择与f(m )的符号不同的，制作m和新的区间(a，m或m，b )并以此方式循环循环结束的条件是最后取的区间的“长度”为精度以下，在这种情况下，由于精度的要求，该区间内的所有值的近似值相等。 如果不相等，即使区间的“长度”在精度以下也不能结束。说明：1)在这个过程中，计算量很大，学生们可能要重复使用计算机，同时，数据多，容易发生错误，因此需要细心和耐心2 )这个过程可以用一个框图和流程图来表示，但不一定是严格规范的形式，我们只要能够表达出这个过程和处理这种问题的思想就可以了，严格规范的形式进入算法章后再专门研究3)4次以

5、上的方程式一般不能用公式法解，所以数学家们研究了方程式近似解的求出方法。 在十三世纪前的中国，秦九韶等数学家提出了高阶方程式数值解的解法，当时通过计算就可以解十阶方程式4 )求方程近似解的过程包括三种数学思想。 请注意，一个是近似的思想，二个是近似的思想，三个是算法的思想，在此，理论上能够以任意的精度求解，因此，尽管近似，但是，能够确保“接近无限”和“能够使用”，这个算法，这是有序的近似但是，同时学生们必须明确，二分法不是求出方程式近似解的唯一方法。【典型例题】试验点1 :利用函数的性质判定方程式解的存在，研究函数零点的分布这种问题经常有两种情况： I，未指定区间：需要使用试行错误法来确定区间

6、的II，指定区间：直接代入判断。 两种情况下判断的根据都是区间端点的函数值异号。例1 .利用函数性质判断方程解的存在。分析：利用函数性质解决问题的前提是结构函数，本问题是问题的特征、结构函数，这是二次函数，其图像是抛物线，将方程式解的存在性问题转换成函数零点的存在性问题。 希望学生们通过这样的简单例子，把握这种问题型的解题构想。 实际上，本问题可以使用素因数分解法和求根式法求出方程式的解。解：考察函数，其图像为抛物线，如图所示为了便于理解，f (0) 0，0，f(10)0。由于函数图像是连续的曲线，所以(-5，0 )之间的曲线的一部分必须在穿过x轴的(-5，0 )之间存在至少x-1点，所以f(

7、x1)=0； 类似地，在(0，10 )之间至少存在x2，并且f(x2)=0。 因为方程式最多有两个解，所以在(-5，0 )、(0，10 )中，方程式各有一个解。方法总结：利用函数性质判断方程解存在性的基本步骤：1 .以结构函数y=f(x )判断为函数图像是连续的曲线2 .利用导出试验法选择区间a，b并使f(a)f(b)0为0的(a，b )之间存在至少一个解。说明：本问题是结合图像来帮助判断的，但一般来说函数的图像并不容易描绘，所以不需要描绘。例2、判定函数在 1，3 中是否有零点？分析：要确认函数在区间 1，3 中存在零点，只需证明f (1) f (3) U 0即可。但是请注意，f(1)f(3

8、)0无法说明函数在区间 1，3 中不存在零点。解：由此可见，函数在 1，3 中至少存在一个零点。例3、设定满足不等式的正数，求证明：方程式有两个正根，一个大于1，另一个小于1。解：试验点2 :从方程式的根的分布和零点的分布状况解决问题这是试验中的热点和难点问题型，一般可以进行数学结合，利用函数图像的几何特征，使答案简洁直观。例4，已知函数的零点大于1，零点小于1，求实数a的取法。解法1 :设函数的两个零点分别为，可以从韦达定理中得到解法2 :函数的大致形象如下从图中可以看出说明：将此类问题与图像结合起来处理既直观又简单。例5，如果二次函数在区间-1，1 中至少存在点c，则求出实数p的范围。解法

9、1 :函数图像向上开口，或者只需解开即可解法2 :假设这种点c不存在于-1，1 中，并且可以得到解满足条件的范围是用试点三二分法求方程的近似解该问题型一般需要利用计算机、耦合函数图像，使学生理解算法的思想，即程序化处理问题的思想，以及无限逼近的思想和近似的思想。 请注意求解器的结束条件。用例6、二分法求出方程式误差小于0.005的近似解。分析：步骤1 :确定初始区间步骤2 :判断是否为零的m如果不是求出的解，则继续判断是大于零还是小于零第三步：如果是，命令，否则命令步骤4 :确定是否成立，如果之间的任何取值不是满足条件的近似解，则返回步骤2。 以上的过程可以用框图表示。说明：框图只是为了帮助学

10、生理解问题的意思，不要求严格把握框图的绘制。解：在区间 2，2.5 中设为连续的曲线。 去取的话故取故取故取故取故取故取此时，尽管2.34765625-2.34375=0. 003906250.005，但是区间的两端点的近似值不一致，因此需要进一步解决并确认解存在的区间抢球有故障解的区间为2. 345703125，2.34765625 ，近似解为2.345。通过如下列表上述解答过程，可以更明确解答过程编号左端点af(a )的正负右端点bf(b )的正负区间长度12-是2.50.522.25-是2.50.2532.25-是2.3750.12542.3125-是2.3750.062552.3437

11、5-是2.3750.0312562.34375-是2.35933750.01562572.34375-是2.35156250.007812582.34375-是2.347656250.00592.345703125-是2.347656250.005方程解的近似值2.345说明：从上表可以看出，有解的区间每次缩小一半，区间的两个端点逐渐接近方程式的解。 但是，从第八步骤开始，区间的长度已经满足精度的要求，为什么进入第九步骤，主要根据精度的要求，左右端点的近似值不同，不正确到0.005，所以在将左右端点的值正确到0.005之后，两者相等。例7 .用二分法求函数零点的近似值(准确地说是0.01 )。

12、解：编号左端点af(a )的正负右端点bf(b )的正负区间长度10-是1120-是0.50.530.25-是0.50.2540.25-是0.3750.12550.3125-是0.3750.062560.3125-是0.343750.0312570.3125-是0.3281250.01562580.3203125-是0.3281250.00781250.0190.3203125-是0.324218750.003906250.01函数零点近似值0.32说明：在同样的例子中，到第八步为止虽然区间的长度满足了精度的要求，但左右端点的近似值不相等，无法确定零点的近似值是多少，到第九步为止解决了这个问题

13、。涉及本课的主要数学思想方法1、近似思想：本课重点讨论了如何求方程式的近似解和函数零点的近似值。 其中，近似的思想是重要的数学思想，13世纪前后，中国数学家对高阶方程式数值解的近似计算作出了出色的贡献。 同时，同学们也要理解相似的思想具有重要的实用价值。 解决实际问题往往“充分”即可。2、近似的思想：为了求出必要的解，我们采用二分法，逐渐缩小一半，经过有限的步骤，可以求出符合精度要求的值。 然而，在理论上，我们可无限地计算，无限地近似解的值，并任意地减小误差。 这也为今后的研究界限提供了思想方法的铺垫。3、算法思想：算法思想是一种实际编程处理问题的思想，一种算法不仅解决一个问题，还解决一个问题

14、。 因此，这里通过二分法的学习，初步感受到算法的思想，为今后进一步学习算法奠定基础。【模拟问题】(解答时间： 40分钟)一、选择问题1 .以下函数在指定范围内有零点的是()a、y=x2-x-1、x(-，0b，y=|x-1|，x-(-1，1 )c、y=x5 x-3、x- 1，2 d，y=x3-1，x-(2，3，3 )2、以下函数图像中，不应该用二分法求出函数零点的是()a、b、c、d、3、函数y=x3-2x2-x 2的零点个数为()a、0B、1C、2D、3*4、当闭合区间a，b上的连续函数f(x )满足条件f(a)f(b)0时，方程式f(x)=0在a，b上()a .可以存在偶数个解b，并且最多可

15、以存在一个解c，只有一个解d，以上的说法是错误的*5、如果已知函数f(x )是r上的奇函数，且函数在(0，)上存在零点，则函数f(x )的零点的个数为()a、1 B、2 C、3 D、46、甲选择1到16之间的整数让乙推测，乙可以提问，甲只能回答“是”或“否”。 乙方至少要听几次以确保推测()。a、2 B、4 C、8 D和167 .有函数零点的区间大致为()是a、(1，2 ) b、(2，5 ) c、(5，10 ) d、(10，)二、填补问题8、方程式2ax2-x-1=0正好在(0，1 )内时，a的可能值范围是*9、函数的零点数是三、解答问题10 .求以下函数的零点*11、二分法求出的近似值(准确地说是0.01 )。12 .求方程的近似解。已知13，(2020广东)是实数，函数在区间-1，1 中具有零点，求出的值的范围。问题的解答一、CDDAC