初中数学利用三角形全等测距离教案　2024-2025学年北师大版数学七年级下册

《4.4利用三角形全等测距离》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本课时教科书以一个真实的故事引出三角形全等的应用，现实的例子引起学生的兴趣，引发他们去思考，并尝试用三角形全等条件来解决问题，这一节内容教科书中较强调学生动脑和动手相结合，鼓励学生在解决问题的过程中有条理的思考和表达.学习者分析学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。教学目标1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学源于生活，服务于生活.2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.教学重点学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”.教学难点如何构建全等的模型把实际问题转化成数学问题(即建模)，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：三角形全等的判定和性质：判定：三角形全等的判定方法有：SSS、ASA、AAS、SAS。2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.学生活动1：学生动脑思考，积极举手回答.活动意图说明：让学生回顾判定三角形全等的方法，为本节课的方案提供理论支持，起到铺垫作用.环节二：利用三角形全等测距离教师活动2：一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望(如图)。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法：如图，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上;接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。(1)按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。(2)你能解释其中的道理吗?观察·思考：如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA;连接BC并延长到E，使CE=CB;连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。你能说明其中的道理吗?小丽的思考过程如下。小丽：在△ABC和△DEC中，因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ABC≌△DEC，所以AB=DE。你能说出小丽每一步的理由吗?小丽：在△ABC和△DEC中，因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ABC≌△DEC，(SAS)所以AB=DE。(全等三角形，对应边相等)利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离.依据：全等三角形的性质.关键：构造全等三角形.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.特别提醒利用三角形全等测距离，实际上仅是三角形全等在生活中应用的一个方面.学生活动2：学生对这个战士的方法进行实践验证：学生分组讨论，尝试用全等的方法解释战士所采用的方法的数学依据。学生分小组讨论，思考作答。学生总结利用三角形全等测距离的目的、依据、关键、方法等。活动意图说明：通过故事让学生学会测量方法，继而思考其中的道理；测量池塘两端的距离，鼓励学生通过观察图，思考这种方法的道理，并用自己的语言表达理由，教科书以文字加数学符号的叙述方式给出思考过程，意在提供“说理”的一种方式，同时为今后学习证明的形式化表述做铺垫；之后总结利用三角形全等测距离的方法等，锻炼学生有条理的语言表达能力。板书设计课题：4.4利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离.依据：全等三角形的性质.关键：构造全等三角形.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，只要量得CD的长度，就可知工件的内径AB是否符合标准.问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（D）A.AO=COB.BO=DOC.AC=BDD.AO=CO且BO=DO2.如图，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离(B)A.大于100mB.等于100mC.小于100mD.无法确定3.如图，某人在楼顶点A处看到一烟囱顶端B的仰角∠BAD=42°，看到烟囱底部C的俯角∠CAD也是42°.如果楼高AE是15m，那么烟囱高30m.4.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.请你说明他们做法的正确性.解：由他们的做法知：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC=90°，∴△ABC≌△EDC（ASA）.∴AB＝ED.故他们的做法是正确的.选做题：5.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）.若DC＝40cm，CE＝50cm，则两条凳子的高度之和为（C）A.50cmB.70cmC.90cmD.无法确定6.如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.C，E，A三点在同一条直线上，点B，C相距20m，点D，C相距40m，乙楼BE的高为15m，小明的身高忽略不计，则甲楼AD的高为(D)A.40mB.20mC.15mD.30m【综合拓展类作业】7.为测量一池塘两端A，B间的距离，小红和小颖两位同学分别设计了两种不同的方案，如图.方案一：如图①，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B间的距离.方案二：如图②，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B间的距离.（1）以上两位同学所设计的方案，可行的是

方案一、方案二⁠；（2）请你选择一个可行的方案，说说它可行的理由.解：（2）答案不唯一.如选方案一：由题意，得AB⊥BC，DE⊥CD，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.在△ABC和△EDC中，因为∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB＝ED，故测出DE的长即为A，B间的距离.课堂总结利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离.依据：全等三角形的性质.关键：构造全等三角形.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.作业设计【知识技能类作业】必做题：1.如图，将两根钢条AA'，BB'的中点O连在一起，使AA'，BB'可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（C）A.边边边B.角边角C.边角边D.角角边2.如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，过点D作DE⊥BF，且A，C，E三点在同一条直线上.若测得DE=30m，则AB的长度为30m.3.如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等;村庄A与C，A与D间也有公路相连，且公路AD是南北走向;只有村庄A，B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3km，AE=1.2km，BF=0.7km.试求建造的斜拉桥至少有多少千米?解：由题意，知BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，所以△ADB≌△ADC(SAS)，所以AB=AC=3km，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1(km).答：建造的斜拉桥至少有1.1km.选做题：4.如图，AB、CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB、CD的中点，经测量AC＝15cm，则容器的内径长为(D)A.12cmB.13cmC.14cmD.15cm5.如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°在△ABC和△FDC中，∠B＝∠BDF，BC=CD，∠ACB=∠DCF（对顶角相等）∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．【综合拓展类作业】6.七年级数学兴趣小组要测量河中浅滩B(可看成一点)与对岸A之间的距离.先在另一岸边确定点C，使C，A，B三点在同一条直线上，再在AC的垂直方向上作线段CD，取CD的中点O，然后过点D作DF⊥CD，使F，O，A三点在同一条直线上，在DF上取一点E，使E，O，B三点也在同一条直线上.那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离，你能说出同学们这样做的根据吗?解：因为AC⊥CD，FD⊥CD，所以∠C=∠D=90°.因为O是CD的中点，所以CO=DO.在△AOC和△FOD中，∠AOC=∠FOD，CO=DO，∠C=∠D，所以△AOC≌△FOD(ASA).所以OA=OF，∠A=∠F.在△AOB和△FOE中，∠A=∠F，OA=OF，∠AOB=∠FOE，所以△AOB≌△FOE(ASA).所以AB=FE，即EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离.教学反思本课设计的情境是一种估测，原理是三角形全等教学中，首先引导学生体会所设计情境的意义，明白战士的具体做