初中数学第1-3章综合模拟测试题+2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第1页（共1页）第1—3章综合模拟测试题2024-2025学年北师大数学七年级下册一．选择题（共10小题）1．下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．打开电视频道，正在播放足球赛 D．若a是实数，则|a|≥02．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣11 B．0.7×10﹣10 C．7×10﹣9 D．7×10﹣83．若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+3的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（）A．﹣4 B．16 C．﹣9或﹣81 D．9或814．如图，将一含45°角的直角三角板的直角顶点和一个锐角顶点分别放在一把直尺的两条边上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．75° B．85° C．95° D．105°（第4题）5．如图①是长方形纸带，上下边缘平行（AD∥BC），∠CFE＝α，将纸带沿EF折叠成图②，其中，∠DEG＝β，则α，β满足的数量关系是（）A．2α+β＝180° B．α+2β＝180° C．2α+β＝90° D．α+β＝90°（第5题）6．如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG=（）A．120° B．130° C．140° D．150°7．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（5x﹣2ab）（5x+2ab） B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y） C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c） D．（m+n）（﹣m﹣n）（第6题）8．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图信息，该长方体盒子的容积可表示（）（第8题）A．4x3﹣12x2+8xB．4x2﹣12x+8 C．4x2+12x+8D．4x3+12x2+8x9．一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图②所得到的数学等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c10．已知多项式ax+b与2x2+2x+3的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣9，则ab的值为（）A．18 B．-18 C．﹣8 D二．填空题（共6小题）11．如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速（第11题）度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C，结果送到B快递点的快递员先到．理由是：．12．小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？（填公平或不公平）获胜的概率大，概率是．（第13题）13．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数是．14．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是．15．若296﹣1可被60～70之间的两个整数整除，则这两个整数的和为．16．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD=时，CD∥AB．三．解答题（共9小题）17．已知∠AOB及射线OA边上的点M（如图），请用尺规过点M作OB的平行线EF，不写作法，保留作图痕迹．18．如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1＝∠2，∠C＝∠D，若∠A＝45°，试求∠F的度数．19．一个正方体骰子，其中一个面上标有1，两个面上标有2，三个面上标有3，求将这个骰子掷出后：（1）2朝上的概率；（2）朝上概率最大的数；（3）如果规定朝上的数为1或2时，甲胜；朝上的数为3时乙胜，则甲、乙谁获胜的机会大些？20．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．21．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．（1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为；（2）配方：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣；（3）已知m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，则m＝，n＝；（4）求多项式：x2+y2﹣2x+6y+15的最小值．22．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由．（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB；（把下面的解答补充完整）解：因为CD∥AB所以∠CAB+＝180°（）因为∠ECM+∠ECN＝180°（）又因为∠ECN＝∠CAB所以∠＝∠（）即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE所以∠MCA＝∠DCE由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB（3）【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为．23．（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd；公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2．图1对应公式，图3对应公式．（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？已知a﹣b＝1，a2+b2＝9，求ab的值；②已知a+1a=4（3）如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE＝8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°）24．观察下列各式：（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝（2）利用（1）的结论求22023+22022+…+2+1的值；（3）若1+x+x2+…+x2023＝0，求x2024的值．25．如图，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠MON＝45°，点P在射线OM上，直线PQ⊥OB，垂足为点Q．设∠BOC＝xo．（1）请用含x的式子表示∠MOB的大小；（2）求证PQ∥AO；（3）设直线PQ与射线OC交于点D，若∠PDO＝40°，求∠OPD的度数．

第1—3章综合模拟测试题2024-2025学年北师大数学七年级下册参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCDDACDABA一．选择题（共10小题）1．下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．打开电视频道，正在播放足球赛 D．若a是实数，则|a|≥0【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；B、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；C、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；D、是必然事件的是：若a是实数，则|a|≥0，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．2．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣11 B．0.7×10﹣10 C．7×10﹣9 D．7×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+3的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（）A．﹣4 B．16 C．﹣9或﹣81 D．9或81【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+3）＝x2+（n+3）x+3n不含x的一次项，∴m﹣3＝±1，n+3＝0，解得：m＝4或m＝2，n＝﹣3，当m＝4，n＝﹣3时，nm＝（﹣3）4＝81；当m＝2，n＝﹣3时，nm＝（﹣3）2＝9，综上分析可知nm的值为81或9，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，乘方运算，熟练掌握完全平方公式及多项式乘多项式法则，是解本题的关键．4．如图，将一含45°角的直角三角板的直角顶点和一个锐角顶点分别放在一把直尺的两条边上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．75° B．85° C．95° D．105°【分析】求出∠3＝90°﹣60°＝30°，由平行线的性质推出∠4＝∠3＝30°，由平角定义即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝60°，∴∠3＝90°﹣60°＝30°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠3＝30°，∴∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4＝∠3＝30°．5．如图①是长方形纸带，上下边缘平行（AD∥BC），∠CFE＝α，将纸带沿EF折叠成图②，其中，∠DEG＝β，则α，β满足的数量关系是（）A．2α+β＝180° B．α+2β＝180° C．2α+β＝90° D．α+β＝90°【分析】由折叠的性质得到∠EFG＝∠EFK＝α，由平行线的性质推出∠FEG＝∠EFK＝α，∠CGE+∠DEG＝180°，由三角形外角的性质得到∠CGE＝∠EFG+∠FEG＝2α，于是得到2α+β＝180°．【解答】解：如图②，由折叠的性质得到：∠EFG＝∠EFK＝α，∵AE∥BF，∴∠FEG＝∠EFK＝α，∴∠CGE＝∠EFG+∠FEG＝2α，∵CG∥DE，∴∠CGE+∠DEG＝180°，∴2α+β＝180°．故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，关键是由折叠的性质得到∠EFG＝∠EFK，由三角形外角的性质求出∠CGE，由平行线的性质推出∠FEG＝∠EFK＝α，∠CGE+∠DEG＝180°．6．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM∥CD，则可求∠CGH＝30°，∠ENG＝90°，可得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求∠EFG的度数．【解答】解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：∵AB∥CD，EF⊥AB，∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，∴∠CGH＝30°，∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，∴∠NFG＝180°﹣∠ENG﹣∠CGF＝40°，∴∠EFG＝180°﹣∠NFG＝140°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线以及三角形的内角和定理，解答的关键是作出正确的辅助线．7．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（5x﹣2ab）（5x+2ab） B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y） C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c） D．（m+n）（﹣m﹣n）【分析】根据平方差公式的结构特征逐个进行判断即可．【解答】解：A．（5x﹣2ab）（5x+2ab）符合平方差公式的结构形式，因此（5x﹣2ab）（5x+2ab）可以用平方差公式进行计算，故不符合题意；B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y）＝（﹣y+ax）（﹣y﹣ax）符合平方差公式的结构形式，可以用平方差公式进行计算，因此不符合题意；C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c）＝（﹣c﹣ab）（﹣c+ab）符合平方差公式的结构形式，可以用平方差公式进行计算，因此不符合题意；D．（m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）（m+n）不符合平方差公式的结构形式，不可以用平方差公式进行计算，因此符合题意；故选：D．【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．8．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（）A．4x3﹣12x2+8x B．4x2﹣12x+8 C．4x2+12x+8 D．4x3+12x2+8x【分析】利用给出的条件将长方体的长宽高表示出来即可求解．【解答】解：由题意可得：长：4﹣2x，宽：2﹣2x，高：x，∴长方体盒子的体积为：（4﹣2x）（2﹣2x）x＝4x3﹣12x2+8x故选：A．【点评】本题考查列代数式，解题的关键是正确表示长方体的长宽高．9．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图②所得到的数学等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c【分析】图②的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此即可得出等式．【解答】解：图②的面积可表示为一个大的正方形的面积：（a+b+c）2，还可表示为所分成的9个图形的面积之和：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，则有：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故选：B．【点评】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．10．已知多项式ax+b与2x2+2x+3的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣9，则ab的值为（）A．18 B．-18 C．﹣8 【分析】先计算出（ax+b）（2x2+2x+3）＝2ax3+（2a+2b）x2+（3a+2b）x+3b，再根据乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣9知3a+2b＝0且3b＝﹣9，求出a、b的值再代入计算即可．【解答】解：（ax+b）（2x2+2x+3）＝2ax3+2ax2+3ax+2bx2+2bx+3b＝2ax3+（2a+2b）x2+（3a+2b）x+3b，∵乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣9，∴3a+2b＝0且3b＝﹣9，则a＝2，b＝﹣3，∴ab＝2﹣3=1故选：A．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则，并根据题意求出a、b的值．二．填空题（共6小题）11．如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C，结果送到B快递点的快递员先到．理由是：垂线段最短．【分析】根据垂线段最短即可得出答案．【解答】解：送到B快递点的快递员先到，理由是：垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．12．小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？不公平（填公平或不公平），小兰获胜的概率大，概率是12【分析】因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占12，是3的倍数的只有两个，占1【解答】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6．∴P（偶数）=36=12；P∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是12故答案为：不公平，小兰，12【点评】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率．13．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数是140°．【分析】作出如图的辅助线，先根据直线l1∥l2，得出∠3＝∠1，然后根据∠α＝∠β，得出AB∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠2的度数．【解答】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在l1、l2之间，∠ABD为∠3，∵直线l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°（两直线平行，内错角相等），∵∠α＝∠β，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠2＝180°﹣∠3＝140°，故答案为：140°．【点评】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．14．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，依据上述规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是6．【分析】观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．【解答】解：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536，观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1＝464．可知464的个位数字是6，故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是6．故答案为：6．【点评】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．15．若296﹣1可被60～70之间的两个整数整除，则这两个整数的和为128．【分析】直接运用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式，然后找出60到70之间的数，即可得出结果．【解答】解：296﹣1＝（248）2﹣1＝（248+1）（248﹣1）＝（248+1）[（224）2﹣1]＝（248+1）（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1），其中26+1＝65，26﹣1＝63，所以两个整数的和为65+63＝128；故答案为：128．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握公式并进行多次因式分解，直到分解到60到70之间的数即是所求的两个数．16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD的度数为150°或30°时，CD∥AB．【分析】如图①，当∠BAD＝∠D＝30°时，CD∥AB；如图②，当∠BAC＝∠C＝60°时，CD∥AB，得到∠BAD＝150°，即当∠BAD＝150°时，CD∥AB，于是得到答案．【解答】解：如图①，当∠BAD＝∠D＝30°时，CD∥AB；如图②，当∠BAC＝∠C＝60°时，CD∥AB，∵∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝150°，即当∠BAD＝150°时，CD∥AB，∴当∠BAD的度数为150°或30°时，CD∥AB，故答案为：150°或30°．【点评】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论．三．解答题（共9小题）17．已知∠AOB及射线OA边上的点M（如图），请用尺规过点M作OB的平行线EF，不写作法，保留作图痕迹．【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两条直线平行即可作图．【解答】解：如图：过点M作∠AMF＝∠AOB，延长FM至点E，答：EF就是所求作的与OB平行的直线．【点评】本题考查了复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是作一个角等于已知角从而判断两条直线平行．18．如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1＝∠2，∠C＝∠D，若∠A＝45°，试求∠F的度数．【分析】根据对顶角相等可得∠2＝∠ANC，从而可得∠1＝∠ANC，进而可得DB∥EC，然后利用平行线的性质可得∠ABD＝∠C，从而可得∠D＝∠ABD，再利用内错角相等，两直线平行可得DF∥AC，最后利用平行线的性质可得∠A＝∠F＝45°，即可解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠ANC，∴∠1＝∠ANC，∴DB∥EC，∴∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠D，∴∠D＝∠ABD，∴DF∥AC，∴∠A＝∠F＝45°，∴∠F的度数为45°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．19．一个正方体骰子，其中一个面上标有1，两个面上标有2，三个面上标有3，求将这个骰子掷出后：（1）2朝上的概率；（2）朝上概率最大的数；（3）如果规定朝上的数为1或2时，甲胜；朝上的数为3时乙胜，则甲、乙谁获胜的机会大些？【分析】（1）用面上标有2的面数除以总面数即可得出答案；（2）根据即可；概率公式直接求解即可；（3）根据面上标有1和面上标有2的共有3面，面上标有3的有3个面，得出面数相等，从而得出甲、乙谁获胜的机会一样大．【解答】解：（1）∵共有6个面，其中两个面上标有2，∴2朝上的概率是26（2））∵共有6个面，其中一个面上标有1，两个面上标有2，三个面上标有3，∴朝上概率最大的数是3；（3）∵面上标有1和面上标有2的共有3面，面上标有3的有3个面，∴甲、乙谁获胜的机会一样大．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=m20．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠F＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质及垂直的性质等知识点，综合性较强，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．21．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】：（1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为±8；（2）配方：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9；【知识运用】：（3）已知m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，则m＝﹣2，n＝2；（4）求多项式：x2+y2﹣2x+6y+15的最小值．【分析】（1）根据完全平方式的定义求解；（2）利用配方法解决问题；（3）利用配方法，非负数的性质求解；（4）利用配方法，非负数的性质求解．【解答】解：（1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为±8．故答案为：±8；（2）x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9．故答案为：9；（3）m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，（m+n）2+（n﹣2）2＝0，∵（m+n）2≥0，（n﹣2）2≥0，∴m+n＝0，n﹣2＝0，∴m＝﹣2，n＝2．故答案为：﹣2，2；（4）x2+y2﹣2x+6y+15＝（x﹣1）2+（y+3）2+5，∵（x﹣1）2≥0．（y+3）2≥0，∴x2+y2﹣2x+6y+15≥5，∴x2+y2﹣2x+6y+15的最小值为5．【点评】本题考查因式分解，非负数的性质，完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．22．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由．（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB；（把下面的解答补充完整）解：因为CD∥AB所以∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠ECM+∠ECN＝180°（平角的定义）又因为∠ECN＝∠CAB所以∠ACD＝∠ECM（等角的补角相等）即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE所以∠MCA＝∠DCE由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB（3）【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为124°．【分析】（1）过点E作EH∥AB，利用平行线的性质和判定可得结论；（2）利用平行线的性质、平角的定义及等角的补角相等填空即可；（3）先利用（1）的结论用∠ACG表示出∠ABF，再利用平行线的性质用∠ACG表示出∠FAB，最后利用三角形的内角和定理求出∠AFB．【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D．理由：过点E作EH∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH．∴∠B＝∠BEH，∠D＝∠HED．∵∠BED＝∠BEH+∠DEH，∴∠BED＝∠B+∠D．（2）解：因为CD∥AB，所以∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为∠ECM+∠ECN＝180°（平角的定义），又因为∠ECN＝∠CAB，所以∠ACD＝∠ECM（等角的补角相等），即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE．所以∠MCA＝∠DCE．由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB，∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB．故答案为：∠ACD，两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；ACD，ECM；等角的补角相等；（3）∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠PBF＝∠ABF=12∠PBA，∠ACG＝∠NCG=1∵MN∥PQ，由（1）知∠CAB＝∠ABP+∠MCA，即∠ABP+MCA＝68°．∵∠MCA＝180°﹣∠ACN＝180°﹣2∠ACG，∴2∠ABF+180°﹣2∠ACG＝68°，即∠ABF+90°﹣∠ACG＝34°．∴∠ABF＝∠ACG﹣56°．∵AF∥CG，∴∠FAC+∠ACG＝180°，即∠FAB+∠CAB+∠ACG＝180°．∴∠FAB＝112°﹣∠ACG．∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB＝180°﹣（∠ACG﹣56°）﹣（112°﹣∠ACG）＝180°﹣∠ACG+56°﹣112°﹣∠ACG＝124°．故答案为：124°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和判定、角平分线的性质、三角形的内角和定理及角的和差关系是解决本题的关键．23．【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．【提出问题】（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd；公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2．图1对应公式①，图3对应公式④．【解决问题】（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？①已知a﹣b＝1，a2+b2＝9，求ab的值；②已知a+1a=4【能力拓展】（3）如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE＝8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积14．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°）【分析】（1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图1、图3的面积即可；（2）①根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，代入即可求出ab的值；②根据(a-1a)2（3）设正方形ABGF的边长为a，正方形CDEG的边长为b，由题意可得a+b＝8，a2+b2＝36，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，代入求出ab的值即可．【解答】解：（1）图1“整体”上是长为a+b+c，宽为d的长方形，因此面积为（a+b+c）d，拼成图1的四个长方形的面积和为ad+bd+cd，所以有（a+b+c）d＝ad+bd+cd，因此图1对应的公式是①，图3“整体”上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图3的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此图3对应的公式是④，故答案为：①④；（2）①∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝12，即a2﹣2ab+b2＝1，∵a2+b2＝9，∴9﹣2ab＝1，解得ab＝4；②∵a+1∴（a+1a）2＝∴a2+1a∴(a-1a)2=a2+1a（3）设正方形ABGF的边长为a，正方