2024年4月浙江省宁波慈溪一模 数学（含答案）

第第页2024年4月浙江省宁波慈溪一模数学一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．热气球上升5米记为+5，则下降3米应该记为（）A．3 B．2 C．−2 D．−32．如图是我们常见的空心卷纸，其主视图是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A．a4+a4=a8 B．4．如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放置在直线a上．若∠1=48°，则∠2的度数为（）A．42° B．45° C．48° D．52° 第4题图 第5题图5．如图是我们生活中常见的标识筒，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为10cm，高为40cm的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜（无缝隙与拼接），则反光膜面积为（）A．5017πcm2 B．400πcm2 6．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a>c>b B．c−a>b−a C．ac2<b7．在一次包饺子活动中，五位家庭成员包的饺子个数分别为6，12，20，24，30(其中爸爸包了12个).后来爸爸又包了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差8．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为(x1，3)，(x2，2)，(2，−3)，(x3，−2)，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2<x1<x3 B．9．已知二次函数y=ax2−x−c，当y>0时，−2<x<1A． B．C． D．10．如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为⊙O的一部分，AB为容器口，DE为水面，已知⊙O半径为5cm,AB=6cm,DE=8cm，将容器从甲处AB与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面DE正好经过点B时（水无溢出），点A相对甲处时升高了多少厘米？（）A．35 B．1725 C．4二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．要使分式2x+1有意义，x的取值应满足12．如图，AC为⊙O切线，C为切点，OA与⊙O交于点B，若AC=3，AO=4，则OB=． 第12题图 第14题图 第16题图13．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是.14．如图，点E为菱形ABCD中AB边上一点，连结DE，DE=DA，将菱形沿DE折叠，点A的对应点F恰好落在BC边上，则∠A的度数为．15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为.16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α0°<α<90°，令S△DGJS△ADE=n，当α=60°时，n=三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（1）计算：|−1|−38−12−2 18．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAB=∠OBA．（1）求证：▱ABCD是矩形．（2）若AD=4，∠AOB=120°，求对角线AC的长．19．【数据的收集与整理】猫眼研究院发布《2024春节档电影数据洞察报告》数据显示，今年春节档电影总票房创历史新高．春节档8天日票房收入及票房冠军《热辣滚烫》在日票房收入中所占比重分别如图所示．（数据来源：猫眼专业版）【数据分析】（1）下列结论中，所有正确结论的序号是__________．（填序号）①初一至初八日票房收入超过10亿的天数占50%②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势；③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四．（2）2024春节档8天微博电影相关热搜总数为946个，将微博映后热搜类型分布、各级城市票房收入占比和观众性别比例绘制成如图统计图．①求“全民讨论”的热搜个数（精确到个位）；②结合各级城市票房收入占比和观众性别比例分析，如果你是投资方，来年的春节档你投资影片会考虑哪些因素？20．观察下面的一列数：a1=12，a2（1）尝试：a2−a1=（2）归纳：an+1（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．21．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n=sinαsinβ称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC=32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC=53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG=7cm．（参考数据：（1）求容器的高度AB．（2）求水的折射率n．（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到BC的三等分点处（CG'=1322．[回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程．已知：如图1，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=1分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，这样就需要证明四边形BCFD是平行四边形……[探究发现]如图2，等边△ABC的边长为2，点D，E分别为AB，AC边中点，点F为BC边上任意一点（不与B，C重合），沿DE，DF剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转180°恰好能与①拼成平行四边形DIHG，求平行四边形DIHG周长的最小值．[拓展作图]如图3，已知四边形ABCD，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．23．已知：二次函数y=−x（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．（2）若该二次函数图象与直线y=2x−1交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为xA，xB，求证：（3）已知点P(1,1)，Q(−2,−5)，若该二次函数图象与线段PQ只有一个交点，求m的取值范围．24．如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且BC的长度是AC长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点，CD与AB交于点F，点E为CF上一点，且∠CAE=∠ABC．（1）求∠CAE的度数．（2）求证：AC（3）若AB=8，CD=6，求AF的长．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：热气球上升5米记为+5，那么下降3米应该记为-3．故答案为：D．【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了上升用正数表示，则下降就用负数表示.2．【答案】B【解析】【解答】解：其主视图是．故答案为：B．

【分析】主视图就是从前向后看得到的正投影．注意：看得见的轮廓线画成实线，看不见但存在的轮廓线画成虚线，据此判断作答．3．【答案】D【解析】【解答】解：A、a4B、a4与aC、a8D、(a故答案为：D．【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法，逐项判定即可．4．【答案】A【解析】【解答】解：如图，

∵∠1=48°，

∴∠3=90°-∠1=90°-48°=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°.故答案为：A．【分析】由角的构成可求出∠3的度数，然后根据二直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：圆锥的母线长为：102反光膜面积为：10π×1017故答案为：C．

【分析】圆锥底面圆的半径、高及母线长围成一个直角三角形，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，圆锥的侧面展开图为一扇形，从而利用扇形面积公式“S=πrl6．【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】解：6，12，20，24，30的中位数数为20，新数据为6，20，20，24，30，中位数为20，∴不变的统计量为中位数.

平均数与所有数有关，故会发生变化；爸爸又包8个饺子之后众数变成20，方差与平均数有关，也发生变化；

故ACD都发生变化，B不变.故答案为：B．【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义判定即可．8．【答案】A【解析】【解答】解：由反比例函数图象经过点(2,∴反比例函数图象位于第二、四象限，即在每个象限内，函数y随x的增大而增大，

∴x故答案为：A．【分析】把点(2,9．【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2−x−c，当y>0时，−2<x<1∴ax2-x-c=0的两个根为-2与1，

∴−2+1=−−1a，−2×1=−ca，

∴a=-1，c=-2，

∴y=ax2+x-c=-x2+x+2，

令y=-x2+x+2中的y=0，

得-x2+x+2=0，

解得x1=-1，x2=2，

∴y=ax故答案为：D．【分析】由题意得第一个抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为（-2，0）和（1，0），故方程ax2-x-c=0的两个根为-2与1，利用根与系数关系建立方程组可求出a=-1，c=-2，从而得出第二个抛物线的解析式，令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可得抛物线与x轴的交点坐标，进而结合开口方向可作出判断.10．【答案】B11．【答案】x≠-1【解析】【解答】解：由题意得：x+1≠0∴x≠−1．故答案为：x≠−1．【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，即可求解．12．【答案】7【解析】【解答】解：如图所示，连接OC∵AC为⊙O切线，C为切点，∴OC⊥AC∵AC=3，AO=4，∴OC=∴OB=OC=7故答案为：7．【分析】连接OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得OC⊥AC，在Rt△AOC中，利用勾股定理算出OC，从而即可得出答案.13．【答案】1【解析】【解答】解∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：26故答案为：13【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数共有6种等可能的结果，其中朝上一面的点数是3的倍数的共有2种等可能的结果，根据概率公式即可算出掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率。14．【答案】72°【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠A=∠C，DA=DC，∠A+∠B=180°，

∵折叠，且DE=DA∴DA=DE=DF=DC，∴∠A=∠AED=∠DEF=∠DFE=∠DFC=∠C=x，∴∠BEF=∠BFE=180°−2x，∠B=180−∠A=180°−x，∴180−2x+180−2x+180−x=180，∴∠A=x=72°．故答案为：72°．

【分析】由菱形性质得∠A=∠C，DA=DC，∠A+∠B=180°，由折叠及DE=DA，得DA=DE=DF=CD，由等边对等角可得∠A=∠AED=∠DEF=∠DFE=∠DFC=∠C=x，由平角定义推出∠BEF=∠BFE=180°-2x，由补角推出∠B=180°-x，根据三角形的内角和定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.15．【答案】9x=11y【解析】【解答】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得9x=11y，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10y+x)−(8x+y)=13.因此9x=11y所以答案为9x=11y

【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可。16．【答案】12；17．【答案】解：（1）|−1|−=1−2−4=−5（2）3+x>−2(1−x)去括号，得：3+x>−2+2x移项，得：x−2x>−2−3合并同类项，得：−x>−5两边同乘以-1，得：x<5．【解析】【分析】（1）先根据绝对值、立方根及负整数指数幂的性质分别化简，然后再进行加减运算即可；（2）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

又∵∠OAB=∠OBA，

∴OA=OB，

∴OA=OB=OC=OD，

∴AC=BD，

∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵∠AOB=120°，

∴∠AOD=60°，

∵OA=OB=OC=OD，

∴△AOD为等边三角形，

∴AO=AD=4，

∴AC=2AO=8．【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分得OA=OC，OB=OD，由等角对等边可得OA=OB，从而可得AC=BD，由对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）由邻补角求出∠AOD=120°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOD是等边三角形，进而根据等边三角形三边相等得AO=AD=4，从而即可求出AC的长.19．【答案】（1）①②（2）解：①“全民讨论”的热搜个数约为946×57.3%≈542（个）；

②∵四线城市占比最多，女性观众占比高于男性观众

【解析】【解答】解：（1）①初一至初八日票房收入超过10亿的天数有4天，共8天∴初一至初八日票房收入超过10亿的天数占50%，故①②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势，故②正确；③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四．初一《热辣滚烫》日票房收入为13.5×31.0%=4.185（亿元）初二《热辣滚烫》日票房收入为10.6×34.9%=3.6994（亿元）初三《热辣滚烫》日票房收入为10.1×36.5%=3.6865（亿元）初四《热辣滚烫》日票房收入为9.5×36.8%=3.496（亿元）初五《热辣滚烫》日票房收入为11.9×36.1%=4.2959（亿元）初六《热辣滚烫》日票房收入为9.1×33.3%=3.0303（亿元）初七《热辣滚烫》日票房收入为8.7×31.5%=2.7405（亿元）初八《热辣滚烫》日票房收入为7.1×29.0%=2.059（亿元）∴《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初五，故③错误；故答案为：①②；

【分析】（1）根据统计图提供额信息，用初一至初八日票房收入超过10亿的天数除以春节假期的总天数即可判断①；根据折线统计图提供的信息可直接判断②；用初一至初八每天的票房收入乘以初一至初八“《热辣滚烫》”每天的票房占比得出《热辣滚烫》每天的票房收入，再比较大小即可判断③；

（2）①用总人数乘以“全民讨论”的热搜所占的百分比即可求解；

②根据四线城市占比最多，女性观众占比高于男性观众求解即可．20．【答案】（1）12；（2）1（3）证明：an+1=1n+2+2n+2+⋅⋅⋅+n+1n+2=1+2+⋅⋅⋅+n+1n+2

=n+2【解析】【解答】（1）解：a3a4−a3=15（2）an+1−an=【分析】（1）将题干给出的值分别代入各个待求式子，然后根据含括号的分数的混合运算的运算顺序计算即可；（2）根据（1）的规律求解即可；（3）首先根据分式的加减运算求出an+1=n+12，21．【答案】（1）解：∵tan∠BAC=BCAB，BC=32cm，tan53°≈（2）解：如图，作HP⊥BC于点P，

易得四边形EBPH是矩形，

∴∠AEH=∠CPH=90°，EH=BP，BE=PH=AE=12cm，

∵EF∥BC，

∴∠AHE=∠HCP，

∴△AEH≌△HPC（AAS）

∴EH=BP=CP=12BC=16cm，

∴PG=CP−CG=9cm，

∴HG=HP2（3）解：由题可知：GG'=CG'−CG=113，HG∥H'G'，

∴CGG22．【答案】解：【回顾课本】证明：以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180°，得△CFE，则D，E，F同在一直线上，DE=EF，且△ADE≌△CFE，∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴AB∥CF，又∵BD=AD=CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF=BC，∴DEBC,DE=12BC;

【探究发现】由题可知：▱DIHG周长=2DI+2DG=2BC+2DF=4+2DF，当DF⊥BC时最小，此时DF=3[拓展作图]方法一：如图，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD边中点，沿DE，DF剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点F，G旋转180°至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形EQPH；

方法二：点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD边中点，沿DE，DF剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点E，H旋转180°至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形KJLN．

【解析】【分析】【回顾课本】以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180∘,得△CFE,则D，E，F同在一直线上，.DE=EF,且△ADE≅△CFE【探究发现】当.DF⟂BC时最小，此时DF=3【拓展作图】取AB，BC，CD，DA边的中点，沿EF，GH，HE剪开分成四块即可.23．【答案】（1）解：∵y=−x∴抛物线顶点D坐标为(m,2m−1)．（2）证明：由题意可知，xA，xB是方程−x∴xA+∴x∴x（3）解：设PQ所在直线解析式为y=kx+b，将P(1,1)，Q(−2,−5)代入，

得k+b=1−2k+b=−5解得k=2b=−1∴直线PQ解析式为y=2x−1．∵抛物线顶点D坐标为(m,2m−1)，∴抛物线的顶点在直线y=2x−1上，当m=−2时，抛物线与线段PQ有1个交点，当m=1时，抛物线与线段PQ有2个交点，将(−2,−5)代入y=−x2+2mx−解得m=0，m=−2，∴−2≤m<0时，抛物线与线段PQ有1个交点，将(1,1)代入y=−x2+2mx−解得m=1，m=3，∴1<m≤3时，抛物线与线段PQ有1个交点，综上所述，该二次函数图象与线段PQ只有一个交点，m的取值