【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题07 解析几何 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆上的点向椭圆引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆上一点为，则对应切点弦所在直线l的方程为即，故，故椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆围成的面积，其面积为.故选：A2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是（

）A． B． C． D．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆的菱形为，，分别求出，再根据，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由，得，化为极坐标方程为，设内接于椭圆的菱形为，则，设，则，，所以，当时，取得最大值，即的最大值为，所以菱形的周长的最大值为，当时，取得最小值，即的最小值为，所以菱形的周长的最小值为，所以内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是.故选：D.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据四边形OMPN是平行四边形，得到为定值，然后将取特殊位置，求解.【详解】如图所示：，易知由四边形OMPN是平行四边形，所以为定值，取点时，由，解得，所以，由对称性得：，所以，取点时，由，解得，所以，由对称性得：，所以，所以，即，故选：C4．（2020·北京·高三强基计划）设直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值为（

）A．8 B．10 C．12 D．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由可得，，故.而，原点到直线的距离为，故，当且仅当等号成立，故面积的最大值为10，故选：B.5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】不妨设，，∴，代入的方程得：，，化简得．代入得．．化简得．∴，∴，故选C．6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示的坐标，代入椭圆方程，求得关于α的函数表达式，进而得到关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，并根据题意不妨设到为逆时针旋转,则,，,,,，∴,,当时取到最小值，当时取得最大值.只有选项B中的12在此范围内，故选：B.7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C：的左、右焦点分别为，其焦距为2c.点在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由在椭圆的内部，得，即，从而，得到，因此.因为0<e<1，所以3e2－4<0，故3e2<1，得到.又由恒成立，即恒成立，等价于，亦即，等价于，即，得到.综上，得.故选：D.二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M，N分别是两直角边上的动点，P是线段MN的中点，则以下结论正确的是（

）A．当△AMN的面积为定值时，点P的轨迹为双曲线一支B．当|MN|为定值时，点P的轨迹为一圆弧C．当为定值时，点P的轨迹为不含端点线段D．当△AMN的周长为定值时，点P的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设，则，，，，对于A，当Rt△AMN面积为定值时，，∴轨迹为双曲线一支，所以A正确．对于B，若，则，是一圆弧，所以B正确．对于C，当时，，即为空端点线段，所以C正确．对于D，当Rt△AMN的周长为定值时，则，即，∴，∴，所以，轨迹为双曲线一支，所以D错误．故选：ABC.9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（

）A．为定值 B．为定值C．为定值 D．为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到的坐标为，利用斜率公式可求与的关系，化简后可得的关系，故可判断AB的正误，根据面积公式可求（用表示），故可判断CD的正误.【详解】不妨设，则，，，因此，其中．对于选项A，为定值．对于选项B，由于，因此若为定值，则为定值，从而和是确定的值，矛盾，对于选项C，D，有，因此是定值，不是定值．故选：AC.10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点，P为椭圆上的动点，则的（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求的最值.【详解】注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为，则，而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为．故选：BD.三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F，l分别为双曲线的右焦点与右准线，椭圆以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于的直线，交椭圆于A､B两点，若的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为___________.【答案】【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆的焦准距（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F：，，，直线AB方程：，联立直线AB和椭圆可得：，由韦达可得：，由椭圆中心O位于以AB为直径的圆外，则有，结合韦达定理可得：，所以，即，解得：，故答案为：.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．【答案】

【详解】设，，由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得，．由，在直线上，得到．由，在椭圆上，得到，．两式相减并整理得，整理得．

①因为，在直线上，所以有，．将，代入得，整理得．

②联立①②，且注意到、为整数，解得，，．故所求的椭圆方程为．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率___________．【答案】【详解】令，则．由复数的几何意义知．所以由前两式知，即，故．因此z的轨迹是实轴长为、焦距为6的双曲线，所以双曲线的离心率为．故答案为：.14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合满足，若P为集合B的边界线C上任意一点，为曲线C的焦点，I为的内心，直线和的斜率分别为，且则t的最小值为________．【答案】【详解】因为为曲线C的焦点，I为的内心，若曲线C的方程为，则I的轨迹方程为，故有可知，所以．设为曲线C上一点，则有恒成立，即.故答案为：.15．（2021·全国·高三竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于_______.【答案】【分析】由对称性，知O为平行四边形的中心，设，得，将点A、B的坐标代入双曲线方程，求得A、B的坐标，利用等面积法知，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O为平行四边形的中心，由A、B、C、D四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A、D在左支上，B、C在右支上，如图：考虑A、B关于双曲线中心的对称点，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知，所以的对称中心为O.设，由，得.将点A、B的坐标代入双曲线方程得，解得：或所以或.故.故答案为：四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设为椭圆：的左焦点，为椭圆上的一点(1)作正方形（，，，按逆时针排列）当沿着椭圆运动一周，求动点的轨迹方程.(2)设为椭圆外一点，求的取值范围.【答案】(1).(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆绕其左焦点逆时针旋转,得到椭圆,注意到在正方形中,点可以看成也是由点绕点逆时针旋转而形成的,由于点在椭圆上运动,则点在椭圆上运动.求的轨迹方程,也就是求椭圆的方程.注意到椭圆的中心坐标为,从而的方程为.（2）如图所示,，当且仅当三点共线,即运动到位置时,等号成立.记椭圆的右焦点为,注意到，显然有，从而,当且仅当三点共线,即运动到位置时,等号成立.于是可得.即的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.【答案】【详解】易知抛物线焦点.设，并与联立知点、的横坐标、满足关于x的方程且.则.从而，当时，有.记满足及递推关系则为斐波那契数列其通项公式为.下面证明：对一切正整数i成立.由，知i=1时结论成立.设i=t时结论成立.则即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知对一切正整数i成立.特别地，.从而，的解析式为.【注】本题亦可用不动点方法求数列的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点．记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程．【答案】（1）（2）【详解】设，．由的垂心为，得．所以，，解得．由点在椭圆上，得．结合，解得，．所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，．若的斜率不存在，则由对称性，知，不符合要求．若的存在，设为，则的方程为．由，得．

①设，，则，．所以

．又，因此，直线的方程为．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆上不同的三点，，到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段的中垂线交轴于点，求直线的方程．【答案】【详解】用、、分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则，，，右焦点为，且准线方程为，由，，得，，根据等差性质，，而，即，所以

．

①设线段的中点为，则其坐标为，又设点的坐标为，则的中垂线的方程为．因在此直线上，故有，即．

②又根据、在椭圆上，得，，所以，据①，即有．

③再据②③得，即点的坐标为，于是直线的方程为．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】(1).设，易知.因为平分，所以，所以

①.

②由①②可得，代入①得到，化简即得曲线的方程为.(2).记，则.直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得当直线与抛物线相切于点时，，解得.当时，，切点在曲线上；当时，，切点不在曲线上.若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线(p为不等于2的质数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M､N两点，线段的垂直平分线交于P点，交x轴于Q点.（1）求中点R的轨迹L的方程；（2）证明：L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线的焦点为，设l的直线方程为.由得得.设M､N的横坐标分别为，由，得，而，故的斜率为，的方程为.代入得.设动点R的坐标为，则:，因此，故中点R的轨迹L的方程为.（2）显然对任意非零整数t，点都是L上的整点，故L上有无穷多个整点.反设L上有一个整点到原点的距离为整数，不妨设，则:，因为p是奇质数，于是，从②可推出，再由①可推出.令，则有，由③，④得，于是，即，于是，得，故，有，但L上的点满足，矛盾!因此，L上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆的右焦点为，上顶点为M，圆，问：椭圆E上是否存在两点P、Q使得圆F内切于三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，的方程为．【详解】假设这样的P、Q存在，且设，由题意知，所以直线．因为该直线与圆F相切，则，所以，两边平方化简得，整理得．因为，消去得．因为，两边同时除以，得，整理得，即点P在直线上．同理，点Q也在直线上，因此直线的方程为．又因为直线圆F相切，所以，解得．因此直线存在且直线的方程为．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，为抛物线外一点，过P引抛物线的两条切线，切点分别为A、B．在线段上取两点D、E，使得．若过D、E两点的直线分别切抛物线于M、N两点（异于A）．求四边形面积的最大值．【答案】【详解】设，则直线的方程为，直线的方程为，故有，同理可得，又因为，所以，即，故，因此．直线的方程为，直线的方程为，即，故两平行线间的距离，，所以，其中，可令，则：．当时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，其右焦点为F，过F作直线l交椭圆于A、B两点（l与x轴不重合），设线段中点为D，连结（O为坐标原点），直线交椭圆于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且，求椭圆的离心率．【答案】【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出坐标，再结合直线交椭圆于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且，求出再代入椭圆求出，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆的半焦距，则，椭圆右焦点为．设，将，代入消去x化简整理得．显然，方程判别式，设．由韦达定理知，从而，，于是．所以直线的方程为．设圆的方程为，直线直线的方程为，由于经过的交点，且均为二次曲线，则存在常数，使得，比较方程两边系数知，即，由对称性不妨设．代入点D的坐标得，又，得点，而M在上，故，解得，于是的离心率为．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆过点，且右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．【答案】（1）（2）见解析（3）【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C的方程为．(2)设A、B、P的坐标分别为．由知，．又点A在椭圆C上，则，整理得．由，同理得到．由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l的方程为，即，与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得，，所以，而．由已知，点P不在椭圆C的内部，得，即，所以的最小值为，故三角形QAB面积的最小值为．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．【答案】【详解】设为圆上任意一点，则由题意知．即，于是，整理得．因此点的轨迹是一个圆．因为为圆上任意一点，所以此圆与圆必为同一个圆，于是有，，，整理得，，所以．因为，，所以，，从而．又因为，所以，，．因此将，，代入，得．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C：的离心率为，､分别为椭圆C的左､右顶点，､分别为椭圆C的左､右焦点，B为椭圆C的上顶点，且的外接圆半径为.(1)求椭圆C的方程；(2)设与x不垂直的直线l交椭圆C于P､Q两点（P､Q在x轴的两侧），记直线､､､的斜率分别为､､､.已知，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由椭圆C的离心率为，知，于是，所以，，，又，且的外接圆半径为，所以，解得，因此，，，所以，椭圆C的方程为.（2）如图，易知直线l斜率不为0，设l方程为，由，得，设，，则，，由（1）知，，，所以，同理，，因为，所以，，由l与x不垂直可得，所以，即，所以，，于是，，整理得，解得或，因为P､Q在x轴的两侧，所以，，又时，直线l与椭圆C有两个不同的交点，因此，直线l恒过点，当时，，，设，由l与x不垂直得，且