【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题10 复数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题10复数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，满足的点的轨迹是（

）.A．圆 B．椭圆C．一段圆弧 D．双曲线【答案】C【详解】设、、，对应的点为.由，可得.由托勒密逆定理知，的轨迹为外接圆上不含点的那一段.故答案为C2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】A【分析】利用换元法将原方程转化为高次方程，再结合高次方程的韦达定理可求代数式的值.【详解】法1：设，则，类似的，定义，则是方程，即的4个复根，方程左侧中的系数为，的系数为根据韦达定理，有．法2：题中代数式也即，因此是关于x的方程，即的4个复根，故为方程的4个复根，从而，原式为．故选：A.3．（2020·北京·高三校考强基计划）已知复数在复平面内对应的点为，O为坐标原点．若，则的面积为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用复数乘法的几何意义可求的面积.【详解】根据题意，有，故，故可看出由旋转并伸长为倍后所得，且旋转角的正弦值的绝对值为，故故选：A4．（2020·北京·高三强基计划）已知复数z满足，则中不同的数有（

）A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确【答案】B【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数.【详解】根据题意，有，于是中有6个不同的数．故选：B.二、多选题5．（2020·北京·高三校考强基计划）设复数z满足，令，则的（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为【答案】AD【分析】利用复数差的几何意义可求的最值【详解】根据题意，有，且，于是为以点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，其取值范围是，因此的最小值为，最大值为．故选：AD.6．（2020·北京·高三校考强基计划）已知，则（

）A．存在实数解B．共有20个不同的复数解C．的复数解的模长都等于1D．存在模长大于1的复数解【答案】BC【分析】设，利用换元法可求得，从而可判断的20个复数解的模都是1.【详解】设，则，于是，这两个t的取值都在区间内．故有解，因此有20个不同的复数解．当时，由于，因此的复数解的模长都等于1．综上所述，选项BC正确．故选：BC.7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（

）A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值【答案】AD【分析】在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，将进行等价变形，然后结合已知条件及均值不等式即可判断的最值情况.【详解】解：在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，因为是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，所以，从而有），所以，又由均值不等式有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，且（比如）时等号成立.故选：AD.8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设复数的实部和虚部都是整数，则（

）A．的实部都能被2整除B．的实部都能被3整除C．的实部都能被4整除D．的实部都能被5整除【答案】BD【分析】设分别计算出代入化简即可.【详解】设则因为可以被2整除，当为奇数时不能被2整除，故排除A.因为，由费马小定理得能被3整除，故B对.的实部为，当为奇数时也为奇数，故不能被4整除，C排除.的实部为，由费马小定理能被5整除，故能被5整除，故D对.故选：BD三、填空题9．（2018·辽宁·高三竞赛）设、b均为实数，复数与的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____.【答案】【详解】由题设知，且为纯虚数，故.因此或解得或，故.故答案为10．（2019·全国·高三竞赛）已知虚数、满足，，.则实数______.【答案】1【详解】由，知.又由方程解的定义知，、是二次方程的两个虚根，则有.解方程得.于是，.解得.故答案为111．（2022·广西·高二统考竞赛）若复数满足，则的虚部为______．【答案】0或1【详解】设i,则i.设，，，或1，故答案为：0或1.12．（2019·全国·高三竞赛）复平面上动点的轨迹方程为______.【答案】【详解】注意到，则.故答案为13．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数满足，则的最大值为__________．【答案】3【详解】解析：由题意可得，则表示复平面上点到的距离．如图所示，，由此可得．故的最大值为3．故答案为：3.14．（2019·全国·高三竞赛）设，其中，．则____________．【答案】【详解】注意到，所以，且.故答案为15．（2019·全国·高三竞赛）设是复数,关于的一元二次方程的两个复数根为.若,则_____.【答案】0或或【详解】因为，所以，.从而，

.代入，得或（当时）.当时，把代入，得.解得.综上所述，或.故答案为0或或16．（2021·浙江·高二竞赛）设复数的实虚部，所形成的点在椭圆上.若为实数，则复数______.【答案】或.【详解】由，所以，则，所以或.故答案为：或.17．（2022·福建·高二统考竞赛）已知复数､在复平面上对应的点分别为A､B，且，，O为坐标原点，则△OAB的周长为___________.【答案】【详解】由，得，所以，所以，，又，所以，，所以△OAB的周长为，故答案为：.18．（2019·全国·高三竞赛）已知正实数满足，复数满足，若，那么，当的辐角主值最小时，的值为______．【答案】【详解】由，知,于是，在复平面上，对应的点在以对应的点为圆心、3为半径的圆上,当的辐角主值最小时，与圆相切，而，，则,于是，,而的辐角主值，又，，于是，,因此，.19．（2019·全国·高三竞赛）复数列满足，.若，则可以有_________种取值.【答案】【详解】显然，对任意的非负整数均有.设.则.由，得，即.由，得.因此，满足条件的共有（个）.故答案为20．（2021·浙江·高三竞赛）复数，满足，，则______.【答案】【详解】如图所示，设在复平面内对应的点分别为,由已知得,由余弦定理得向量所成的角为,不妨设,,,,,,,.故答案为：.21．（2021·全国·高三竞赛）设复数､､满足，则___________.【答案】2【详解】解析：.故答案为：2.22．（2021·北京·高三强基计划）已知复数z满足，则满足条件的z有_________个．【答案】1【分析】将题设中的方程化为，再根据10，11均与111互质可得满足条件的z的个数.【详解】根据题意，有，于是，因此，从而，注意到10，11均与111互质，因此满足条件的z只有1个，为．故答案为：1.23．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y满足，则__________．【答案】【详解】解析：令，则原方程组（令）（舍）或．故答案：.四、解答题24．（2018·全国·高三竞赛）已知求的值.【答案】0【详解】令.又,，.则.同理,.故则.所以,且.25．（2019·全国·高三竞赛）已知、、是互不相等的复数，满足，.求证：.【答案】见解析【详解】由已知条件知，复数、、两两不等，且皆不为0.对题中比例式用合比、分比可得.设，则，，.但，故（但），有.同理，.因此，.26．（2019·全国·高三竞赛）设．证明：为纯虚数．【答案】见解析【详解】首先证明：若，则

①令.则是一个次多项式，其首项系数为.又当时，.所以，.由因式定理得.在式①中令.则..命题获证.27．（2021·全国·高三竞赛）设，复数.求所有的，使得､､依次成等比数列.【答案】答案见解析【详解】因为，所以：，整理得：，所以（1）或，时，代入得；时，代入得；（2）若，则有：，故，故的值为或或或，对于的分别为、、、，故所有的为：.28．（2019·全国·高三竞赛）设，其中为质数．对的一个子集，如果中所有元素的和（空集的元素和规定为）为的倍数，则称是的一个“倍子集”．试求的所有倍子集的个数．【答案】【详解】当时，，此时，有个倍子集：、，所以，.当时，为奇质数，令考察的元素和为的所有子集的个数.当时，它就是不定方程的正整数解的个数，也就是的展开式中的系数；当时，其和为的子集只有空集，子集的个数为.所以，的所有倍子集的个数，就是的展开式中那些次数为的倍数的项的系数和，即.设.当是的倍数时，；当不是的倍数时，有.于是，由，得.又，则其中，.注意到当时，，所以，是模的完系.而，则是的一个排列.故，.又，而为奇数，取，得.故，.则比较两式的右边得.故，.综上，29．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．【答案】证明见解析【详解】用表示对所有数组的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：

①(1)当时，①式显然成立；当时，，即①式成立．（2）假设时，①式成立，则时，我们有，即时①式成立．由（1）（2）可得：．回到原题，由，可得，即，所以存在数组（其中，使得，即．30．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：（1）；（2）数列恒为常数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意和韦达定理可得，取模得，若，结论显然成立，否则，由于数列恒为常数，则，即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨设为和，依据题意即可证明.【详解】由题意和韦达定理得,则，即．

①（1）由①取模得，若，结论显然成立；否则，由于数列恒为常数，则，即有．（2）由（1）知，对任意的，又数列恒为常数，因此只有互为共轭的两种取