《热学》课件chapter2课件第2章

第二章平衡态系统的统计分布律§2.1.

统计规律与分布函数的概念0、问题的提出a.日常生活

同学们的成绩，

经济活动，等等。b.第一章讨论过的重要物理量

压强、温度、等等。

完全不同于经典力学中的决定论规律！§2.1.统计规律与分布函数的概念一、事件及其概率1、事件：随机实验中，对一次实验可能出现

也可能不出现，而在大量重复实验中

具有某种规律性的事情称为事件。2、概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件

组合中,发生某一事件的机会或可能性。

对事件组合

{Ai}(i=1,2,……,N)，事件总数

为

N,出现事件

Ai的次数为

N(Ai)，

则事件

Ai的概率为。3、事件的分类

(1)必然事件：

如果

P(Ai)=1,则称

Ai为必然事件。

(2)不可能事件：

如果

P(Ai)=0,则称

Ai为不可能事件。

(3)随机事件：

如果

0<P(Ai)<1,则称

Ai为随机事件。4、随机事件的分类及相应的概率

(1)互不相容事件：

如果一事件发生时，其它事件不可能同时发生，

则称这样的事件组合为互不相容事件。

例：掷硬币，面值面向上时，装饰面不可能再向上。

对互不相容事件Ai

和

Aj，

P(Ai+Aj)=P(Ai)+P(Aj)

.(2)独立事件：

如果一事件的发生不因其它事件是否发生而受到

影响,

则称这样的事件组合为独立事件。

对独立事件Ai

和Aj，

P(AiAj)=P(Ai)·P(Aj)

.

例：掷硬币，第二次抛掷时出现装饰面向上，不受第一次是否向上的影响，连续两次出现装饰面向上的概率为二、统计规律

微观上千变万化、完全偶然，宏观上却有一定数值和规律的现象称为统计规律。

如：理想气体的压强、温度、等等。三、实例：伽尔顿板实验

装置：如右图示。

过程：（重复）两步：

(1)单个小球下落，

(2)多个小球“同时”下落。

结果：第一步，完全随机。

第二步，有规律分布。四、随机变量与分布函数1、随机变量

(1)定义：对一系列事件，如果一些量的数值

是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。

(2)分类：

2、分立随机变量及其概率分布

(1)分立随机变量：只能取一些不连续的分立数值的随机变量。

(2)分立随机变量的概率分布：

对分立随机变量{xi}，相应于某随机变量xi的概率

为P(xi),其概率分布为。

(3)分立随机变量的平均值及多次矩

<i>平均值

对分立随机变量{xi}

和相应的概率分布{P(xi)},

这些随机变量的平均值为<ii>多次矩

称为随机变量

x

的

n

次矩。

一次矩

；

二次矩

.

因为二次矩

,所以由二次矩可得到较多的概率分布信息。二次矩又称为色散。且常考虑平方的平均值或其平方根（方均根）。还考虑三次矩、四次矩，分别称为扭度(skewness)、峭度(kurtosis)。３、连续随机变量及其分布函数的概念(1)连续随机变量：可连续变化的随机变量称为连续随机变量。

如：经典物理中的位矢、速度、能量、等。

(2)分布函数：

以伽尔顿板实验为例,记粒子总数为

N，i

为小槽的序号，

Ni为落入第

i

个小槽的粒子数，Ai为落入第

i

个小槽

的粒子所占的体积（亦即看到的面积），

其宽度为

xi，高度为

hi，则

.

那么，粒子落入第

i

个小槽的概率为.细化使，则有

.令

则

.

这样定义的函数f(x)即称为分布函数。

由

知

即分布函数为随机变量

x

处单位区间内的概率，

所以分布函数又称为概率密度。(3)概率与平均值

对连续随机变量，为随机变量取

x~x+dx

区间内的数值的概率。

随机变量

x的平均值为

对力学量

G=G(x),则有

,4、分布函数的性质(1)

归一性

因为分布函数即概率密度，,

所以

.

(2)物理量守恒

,

.

五、一些常见的分布1、高斯分布

(1)无规行走

质点自原点出发，在O-xy平面内无规行走，步长不限，

取向等概率，且后一步与前一步无关，经

N步后，

质点出现在位置

(x,y)附近

dxdy面元内的概率为

。“概率”的意义：

<i>做多次无规行走实验，走

N步后，质点落在dxdy

内的次数占总实验次数的比率。<ii>大量质点同时从原点出发作无规行走，走

N步后,

落在

dxdy内的质点数占总质点数的比率。

所以,

f(x,y)即分布函数。(2)分布函数

f(x,y)的确定

因为每一步取向都等概率,无优先方向,

当

N

很大时,f(x,y)

在

O-xy

平面内关于原点圆对称,

并且,x、y方向相互独立,

因圆环面积随x,y

增加而增大,则分布函数沿径向减小,

即有

所以

其中

C须由归一化条件确定。(3)高斯分布及其性质

表述：.

性质:<i>，

<ii>。

标准形式:2、二项式分布(1)实例：体积为V的容器由隔板分为左右两部分，

左边有

n1个粒子，右边有n2个粒子，n1+n2=N.

显然，共有

N+1种宏观分布方式：

{N,0},{N-1,1},…,{1,N-1},{0,N}.

记一个粒子在左右两边的概率分别为

p、q,

则

n1个粒子在左边,n2个粒子在右边的概率为

又，从N中取出

n1个分子的方式为

所以出现宏观态{n1,n2}的概率，即二项式分布为

。

(2)

性质：<i>归一,<ii>平均值:

<iii>涨落：

3、近独立粒子系统的最概然分布

本章重点讨论内容。§2.2.麦克斯韦速度分布律一、速度空间1.表述

.2.不同坐标系中表述间的关系(1)分量,,.(2)体积元

如右图。二、麦克斯韦速度分布律1.表述2.导出(1)速度各方向独立分布函数在三个方向互相独立,

.(2)速度各向同性，宏观上静止

分布函数仅与速度的大小有关，与其方向无关,

即有：.(3)试探解

由上式知：，

假设有解：

即有

则(4)确定待定系数

¶物理条件

归一化

能量守恒

.,¶数学工具：高斯积分公式¶待定系数满足的方程及其求解由归一化条件得：

由能量守恒得：

两式相除得：

于是有，

.

所以

.3.性质(1)有极大值，随增大，减小。

(2)随

T

升高，变化渐缓。(3)随m

增大，变化加剧。4.推论：速率分布律因为

,所以性质如图示5.实验检验

著名实验有：Stern实验(1920)、葛正权实验(1934)、

Miller-Kusch实验(1955)、等等。

M-K实验装置如图

实验时,铊蒸汽经狭缝S

进入圆柱

R,

经柱上的斜槽穿出圆柱后，

由探测器

D

测量到。

记圆柱长度为

L,以角速度

转动，

铊分子进入和穿出圆柱处两半径的夹角为

，

所以

理论结果与实验结果符合。

.

.

M-K实验证明的分布与麦氏分布间的关系

记蒸气源中各种速度“分子”的总数密度为n，

蒸气源器壁上小孔的面积为

dS，

以x

轴垂直小孔建立坐标系，

则蒸气源内单位体积中速度介于

的“分子”数为

时间dt

内,可以由小孔穿出形成“分子”束的“分子”数为

以球坐标表示，则在

区间内

的“分子”都可以在dt

时间内穿过小孔，

所以在dt

时间内，由蒸气源中速率介于

区间内的“分子”形成的“分子”束的“分子”

数为即:dt

时间内形成的“分子”束中速率介于

区间内的“分子”数为

dt

时间内“分子”束中的“分子”总数为

所以“分子”束中“分子”按速率的分布律为6.应用举例(1)最概然速率

vp

定义：

条件：二阶导数

<0.

因为

则有

解之得

(无意义、舍去），

所以最概然速率为(2)平均速率

所以，气体“分子”的平均速率为(3)方均根速率vrms

<i>计算因为

所以

<ii>讨论¶由速度分布律得到的vrms与由温度的统计解释得到的结果一致。¶三种速率间的关系¶常见气体的方均根速率¶环境保护至关重要

力学

,

于是

.

其它星球周围不存在与地球周围相同的大气，环境保护至关重要！

(4)气体“分子”碰壁数与泻流速率

<i>

泻流：对面积为dS的小孔，当dS的线度小于粒子

的平均自由程时，粒子束流从小孔dS射出的现象称为泻流。

<ii>气体“分子”碰壁数率与泻流速率

如图，dt时间内碰到器壁dS

上的粒子数为

所以

因为

则

所以

,气体“分子”碰壁数率为<iii>讨论¶

泻流速率及碰壁数率的系数与直观结果不同

直观上,空间为三维,上述系数应为。

事实上,不仅速度垂直于小孔的粒子可以通过,

倾斜的也能通过。

¶应用：同位素分离技术

原理：

质量m

越小，越易泻流出。.例题：试确定在“分子”束实验中从蒸气源小孔中射出的束流

中“分子”的最概然速率、平均速率和方均根速率。解：因为那么，由极值条件

可得解之则得“分子”束中“分子”的最概然速率为

.

直接积分则得，

即有

§2.3.麦克斯韦—玻尔兹曼分布律一、重力场中微粒按高度的等温分布律

如图示，对高度z

附近、厚度为

dz、面积为dS的区间中的气体，

平衡时:

T固定

于是有

,

解之得.

代入状态方程得.

——等温气压公式

因为小框中粒子的数目为

则底面积为

dS的柱体中的微粒总数为

所以，重力场中微粒按高度的分布律为二、玻尔兹曼密度分布律

根据重力场中微粒按高度的分布中的为重力势能，

玻尔兹曼将之推广到任意外场U(r)，

得到

此即

Boltzmann密度分布律。

例如：回转体中的微粒

因为

则，

所以，龙卷风、台风、飓风等有眼，呈漏斗状。三、麦克斯韦—玻尔兹曼分布律

Maxwell分布律的指数中

即

Boltzmann密度分布律的指数中即有动能与势能为独立事件，两分布直接相乘，则得记为包括各种形式的动能和各种形式的

势能的总能量，即有麦克斯韦—玻尔兹曼分布律该分布适用于任意经典热力学系统。

§2.4.能量均分定理与热容量一、分子的自由度

自由度：决定物体运动状态所需要的独立坐标。

分子有一定的构形，所以有一定的自由度。

如：单原子分子，有一定的体积，

刚体近似：有6个自由度；质点近似：有

3个自由度。

双原子分子，如：O2,HCl,…….

有6个自由度：3个平动，2个转动，1个振动。

三原子分子，如：H2O,

有9个自由度：3个平动，3个转动，3个振动。

一般地，n

原子分子有3n

个自由度：

3个平动、3个转动、（3n̶

6）个振动。二、能量均分定理1.表述：

在平衡态下，非相对论性粒子的每一个自由度都具有平均能量。

对

t个平动自由度、r个转动自由度、s个振动自由度的粒子，

其平均能量为2.论证

理想气体分子平动能：

转动能：

振动能：

由于“微观”上能量都正比于“自由度”的平方，

即每一个转动、振动自由度的平均能量应和一个

平动自由度的平均能量相同。

因此，每一转动自由度有平均能量，

每一振动自由度有平均动能，

和平均势能。三、理想气体的内能和热容1.理想气体的内能

内能：组成系统的所有粒子的无规则热运动的

动能和它们之间的相互作用势能之和称为该系统的内能。

理想气体：只有动能、“没有”势能，

质量为

M的理想气体的摩尔数为，

包含的分子数目为

根据能量均分定理，内能为

例：1mol非相对论性理想气体，

单原子分子：

刚性双原子分子：

非刚性双原子分子：

刚性多原子分子：2.非相对论性理想气体的定体热容

理论

,

实验：一些常见气体在0oC下的摩尔定体热容如下：单原子分子气体HeNeArKrXe单原子N1.491.551.501.471.511.49双原子分子气体H2O2N2CONOCl22.532.552.492.492.573.02多原子分子气体CO2H2OCH4C2H4C3H6NH3

3.243.013.164.016.173.423.理论与实验之间的矛盾

理论表明，理想气体的热容与温度无关。

实验测量表明，气体的热容与温度有关。

对H2的观测结果如右图示。

理论与实验比较知，

二者在一定温区内一致。

T

升高，自由度逐渐激发：

低温时，只有平动

;

常温时，开始有转动

;

高温时，才有振动。

经典物理中，能量连续变化，不会出现这种离散激发。

有必要发展新的理论：量子理论

！

黑体辐射的紫外灾难也表明：必须发展量子理论

！在量子理论中，所以有不同温区中自由度数不同的现象。例题：在温度不太高的情况下，将质量为2.0g

的CO2气体与

质量为3.0g

的N2

气体混合，试确定混合物的摩尔定体热容。解:记CO2的质量为M1,比定体热容为cV1,摩尔定体热容为CVm1，

N2的质量为M2,比定体热容为cV2，摩尔定体热容为CVm2，

则混合物的比定体热容为

摩尔定体热容为

因物质的量不变，则混合物的摩尔质量与两组分的摩尔质量的关系为

所以

在温度不太高的情况下，

代入数据则得1.杜隆-珀替定律

固体中，粒子排列成晶格点阵，没有平动，没有转动，

只有振动，可图示如下，

即有

。

于是有：

，

并且。

该规律最早由杜隆和珀替总结实验

测量结果得到，因此称为杜隆-珀替定律。

例如：

四、固体的内能与热容量物质LiZnAlAgAu

Pb

固态(J/m·K)24.825.224.224.925.426.4

液态(J/m·K)30.332.5282431282、理论与实验的矛盾

很硬的固体存在明显矛盾，如：

硬度大，K大，

且振动能级具有离散性，

需要发展量子理论！Einstein单模模型Debye多模模型2.固体热容量的考普-诺伊曼定律

双原子分子固体，

三原子分子固体。

3.固体热容量的前述定律与实验的矛盾

室温下多数固体的摩尔热容量满足杜隆-珀替定律或

考普-诺伊曼定律，但对很坚硬的固体存在明显矛盾，

如：

。(1)

唯象解释

硬度大，K大，

大，振动也不全激发，且振动能级具有离散性，相应自由度不起作用，因此，它们的热容量很小。(2)需要发展量子理论：Einstain模型、Debye模型。§2.5.平衡态下粒子微观运动状态的分布规律一、微观运动状态的描述1、微观粒子运动状态的描述

(1)经典描述

广义坐标

广义动量

哈密顿量。

运动方程

相空间与相轨道

广义坐标和广义动量构成的2d维坐标空间称为相空间。粒子运动时,其代表点在相空间中的轨道称为相轨道。

(2)量子描述

波函数，

物理量：厄米算符

运动方程：

能级及其简并度

能量

i分立取值分立能谱每一个能量一个能级。相应于一个能量

i的状态（波函数）i

如果不只一个，

则称之为简并的；

若相应的波函数

i

有

个，则

gi称为该能级的简并度。

形象示意：楼房的楼层能级每层的房间数简并度

自旋：

一般地，s=整数或半整数

玻色子和费米子

自旋S=整数的粒子：玻色子;

自旋

S=半整数的粒子：费米子.

全同粒子

定义：具有完全相同的内禀性质（质量、电荷、自旋、等）的粒子。性质：状态具有交换对称性（量子力学基本假设）

波函数对称或反对称.

Pauli不相容原理

不可能有两个全同的费米子处于同一个量子态.2、微观粒子系统的分类

(1)按粒子间相互作用的强度分类：<i>近独立粒子系统<ii>关联系统

(2)按粒子的全同性分类：

<i>玻色系统由全同玻色子组成的系统。

<ii>费米系统由全同费米子组成的系统。

<iii>玻尔兹曼系统由可分辨的全同近独立粒子组成的、处在每一个量子态上的粒子数不受限制的系统。3、等概率原理

(1)

宏观态

由一组完备的宏观量（例如：状态参量）决定的系统状态称为系统的宏观态。

(2)微观态相应于同一个宏观态，组成系统的微观粒子可

以有大量的各种不同的微观运动状态。每一种

微观运动状态简称为系统的一个微观态。例如：理想气体，

(3)等概率原理

Boltzmann指出：对于处于平衡态的孤立系统，

其各个可能的微观态出现的概率都相等。

即：如果平衡态下孤立系统的可能的微观态的总数为

，则任一微观态出现的概率均为

1/，

i.e.,

如果某一宏观态相应的微观态的数目为

n,

则该宏观态出现的概率为

二、三类系统的微观态的数目1.

分布的概念

(1)定义：

对于一个全同近独立粒子系统，

以

i

(i=1,2,……)表示粒子的第

i个能级，

gi表示能级

i

的简并度，Ni表示能级

I上的粒子数，

则数列{N1,N2,…,Ni,…}={Ni}称为系统的一种分布。

(2)

约束条件：

对一个可能实现的分布，必须满足

(3)分布与微观态的关系：

一个微观态一个分布；

一个分布若干个微观态。2.微观态数目

(1)玻尔兹曼系统的微观态数目

记能级

i

的简并度为

gi

，其上有Ni

个粒子，那么

每个粒子都具有

gi

种占据

i

的方式，Ni个可分辨的粒子占据

i

上

gi

个量子态的方式为。

则，N1,N2,…,Ni,…个可分辨的粒子分别占据

能级的量子态的总方式数为.

粒子可分辨

出现{Ni}的方式数为

.

所以，微观态的数目（总的占据方式）为

.(2)玻色系统的微观态数目

粒子不可分辨

Ni个粒子占据

gi个能量

为

i的

简并量子态的方式数就是从

(Ni+gi–1

)个态中取出

Ni

个态的方式数，例：四个不可分辨的人占用A、B、C三个房间，

若A中有4人，则房间B、C只有1种占用方式，

若A中有

3人，则房间

B、C有

2种占用方式，

若

A中有

2人，则房间B、C有

3种占用方式，

若

A中有

1人，则房间B、C有

4种占用方式，

若A空置，则房间B、C有

5种占用方式，

则总方式数为

5+4+3+2+1=15，即.

那么，一组能级

{

i

}上分别有

{Ni

}粒子的方式数，

即微观态数目为

.

(3)费米系统的微观态数目

Pauli原理

每个量子态上最多能容纳

1个粒子。

粒子不可分辨

Ni

个费米子占据

i上

gi

（）个量子态的

方式数相当于从

gi

个态中取出

Ni

个态的方式数，

即

那么，一组能级

{

i}

上分别有

{Ni}个费米子的方式

总数，即微观态数目为

三、三种系统的粒子按能级的最概然分布1.最概然分布

(1)定义

相应于微观态数目最多的分布称为最概然分布。

(2)与宏观态的关系

最概然分布对应的宏观态为平衡态；

平衡态对应的微观态分布为最概然分布。

例：对玻尔兹曼系统，设其微观态总数为

t，

则每个微观态出现的概率为1/

t，再设最概然分布

对应的微观态数目为

mp，则该分布出现的概率为

因为

，

2.玻尔兹曼系统的最概然分布

记Boltzmann系统的最概然分布对应的微观态数目为

BM，相应的分布为

{Ni}={Ni(

i)},

因为，

则

因为

,（Stirling公式）

则

.

因为

则有

即

.

也就是

约束条件

则前述极值条件方程线性相关，即为条件极值问题。

应用Lagrangin乘子法扩展为

,.即有

于是得

解之得

由知，

则有

所以，于是有

处于平衡态的Boltzmann系统的最概然分布为其实际

分布的具体表现

记Boltzmann分布

{Ni}对应的微观态数目为

BM，相对于

Boltzmann分布有偏离

{Ni}的一个分布的微观态数目为

BM+，

因为

所以

对宏观系统，N~1023，

所以，最概然分布的微观态数几乎等于全部可能的微观态总数。3.玻色系统的最概然分布

（B.D.,orB-E.D.）约束条件:4.费米系统的最概然分布（F.D.,orF-D.D.）

约束条件:,,.,,.5.经典极限条件及三种分布的关系

当

则

F.D.和

B.D.的分母中的

±1项可忽略。

于是

与

Ni(BM)

形式相同。

此时，

即

gi

很大时，与经典情况一致。

所以有经典极限条件：

或

并可以证明：经典极限下6.能量连续条件

经典极限下，三种分布有相同的形式，

需要根据相同的条件确定参数

和，

具体计算需要将求和化为积分，

于是应有

，

即

也就是

所以能量连续条件为温度很高。四、应用1.热容问题2.量子理想气体的性质(1)

量子关联与量子简并微观粒子状态的不确定关系

量子关联“弥散的轨道”有重叠,概率分布有一定的关联。

量子简并的简并温度

使组成气体的粒子都处于很强的量子关联状态的特征温度称为简并温度。

则

量子简并状态

简并温度(2)量子态密度与量子态求和、等等

量子态的能量不连续,计算平均值时应分立求和。

很困难！

近似处理：转化为相空间积分。

定义量子态密度：

则，量子分布的约束条件表述为:..,相空间体积（

状态总数）：.

非相对论情况：

则

所以

相对论情况：,...(3)简并费米气体的性质的定性讨论<i>量子态分布：

<ii>费米能与费米动量(4)简并玻色气体的性质的定性讨论

化学势

3.实例

连续相变；

玻色-爱因斯坦凝聚；

白矮星、中子星等核天体；···

§2.6.气体粒子的碰撞及其概率分布一、气体粒子的碰撞截面与平均自由程1.碰撞截面

如图，由于粒子之间有相互作用，则粒子B

向粒子A靠近时，其“运动轨迹”与粒子A

到其入射方向的垂直距离

b(称为瞄准距离）

有关：b增大，偏折角（出射角）变小。

恰好使偏折角为

0的瞄准距离

b=d

称为粒子的有效直径，

以

d

为半径的“圆截面”称为粒子的散射截面，或碰撞截面，记为