2025年春华师版数学九年级下册教学课件 27.1.2 第2课时 垂径定理

27.1圆的认识第27章

圆第2课时

垂径定理2.圆的对称性问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为

37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为

7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？情境引入·OABDPC问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径

CD⊥AB，垂足为

P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段：AP=BP垂径定理及其推论弧：

理由如下：把圆沿着直径CD

折叠时，CD

两侧的两个半圆重合，点

A

与点

B

重合，AP与BP重合，

和

，

与

重合．温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)

归纳总结推导格式：∴AP=BP，

(结论)想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为

CD没有过圆心ABOEABDCOEABOCDEOABC垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOC归纳总结ABO

DC

如果把垂径定理

(垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为

E

③AE=BE证明猜想④如图，AB是⊙O的一条弦，直径

CD

平分弦

AB

于点

E.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)·OABCDE解：(1)连接

AO、BO，则

AO=BO.又∵AE=BE，∴∠AEO=∠BEO=90°.∴

CD⊥AB.证明举例∴△AOE≌△BOE(SSS).(2)由垂径定理可得

与

相等吗？

与

相等吗？为什么？思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？

如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD圆的两条直径是互相平分的.归纳总结特别说明：例1

如图，OE⊥AB于

E，若⊙O的半径为

10cm，OE=6cm，则AB

=

cm.·OABE解析：连接

OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二∴cm.典例精析例2

如图，⊙O的弦

AB＝8cm，直径

CE⊥AB于

D，DC＝2cm，求半径

OC的长.·OABECD解：连接

OA，∵

CE⊥AB于

D，∴设OC=xcm，则

OD=x

-

2，根据勾股定理，得解得x=5.即半径

OC的长为

5cm.x2=42+(x-

2)2，证明：作直径MN⊥AB，如图.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.则=，=（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.∴－=－.∴=.例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求证：=..MCDABON

解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用解得R≈27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为27.3m.∴R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如图，过桥拱所在圆的圆心

O作

AB的垂线，交

于点

C，交弦

AB于点

D，则

CD=7.23m.由垂径定理，得

AD=AB=18.5m，设⊙O的半径为

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得练一练：如图

1、2，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为

7cm，则弓形的高为＿_＿＿__cm.C图2

DCBOADOAB图12或

12

指弧中点到弦的距离

在圆中有关弦长

a，半径

r，弦心距

d（圆心到弦的距离），弓形高

h的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦

a，弦心距

d，弓形高

h，半径

r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圆心到

AB的距离为

3cm，则此圆的半径为

cm

.52.⊙O的直径

AB=20cm，∠BAC=30°，则弦

AC

=

cm.

D·OABCE3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求证：四边形

ADOE是正方形．证明：∵

OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形

ADOE为矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四边形

ADOE为正方形.∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.

4.如图，在以

O

为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB

交小圆于

C，D

两点.你认为

AC和

BD

相等吗？为什么？解：AC=BD.理由如下：

过点

O作

OE⊥AB，垂足为

E.则

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法．解：连接

OC，如图.

●

OCDEF┗根据勾股定理，得5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的

，点

O是

的圆心)，其中

CD=600m，E为

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.则

OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).设这段弯路的半径为

Rm，解得

R=545.∴这段弯路的半径约为

545m.∴拓展提升：如图，⊙O的直径为

10，弦

AB

=8，P

为

AB

上的一个动点，那么

OP

长的取值范围

.3≤OP