2025年春北师版数学八年级下册 1.1 第1课时 等腰三角形的性质 教案

1.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学内容第1课时等腰三角形的性质课时1核心素养目标1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识目标1.回顾全等三角形的判定和性质；2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.教学重点理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.教学难点理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知当堂练习，巩固所学创设情境，导入新知图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题.问题1在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.同位角相等，两直线平行.5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？师生活动:教学时应鼓励学生独立完成.教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D，∠B=∠E(已知)，∴∠C=∠F(等量代换).∵BC=EF(已知)，∴△ABC≌△DEF(ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.知识点二：等腰三角形的性质及其推论问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗?议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了解题什么的启发？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.方法一：作底边上的中线证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).师：还有其他的证法吗？方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).师生活动:教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？由△BAD≌△CAD，可得BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.师生活动:让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).几何语言：如图，在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）.练一练1.已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED=20°，则∠AED的度数为()A.60°B.90°C.80°D.20°师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.典例精析例1已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.当堂练习，巩固所学1.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．2.(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________；(2)等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为_____________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.设计意图：通过现实情境中识别出等腰三角形，让学生明白等腰三角形在实际中的运用.设计意图：从回忆八年级上册“平行线的证明”一章给出的基本事实人手，一方面帮助学生回忆旧知识，另一方面引出本章证明的主要依据.设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS.这两种证明方法都是受折纸的启发(轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”,即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高)之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况.设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧.设计意图:考查对全等三角形判定的掌握.设计意图:结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.①顶角＋2×底角＝180°②顶角＝180°－2×底角③底角＝(180°－顶角)÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°板书设计1.1.1等腰三角形全等三角形：1.判定：SSS、SAS、ASA、AAS性质：对应边相等，对应角相等等腰三角形：1.性质：等边对等角推论：三线合一课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).全等三角形的对应边相等，对应角相等.教学反思在等腰三角形性质(第一课时)的教学中，教学方法是采用“目标--问题”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念.教学内容安排详略适当，教师把问题“讲明白”，学生把问题“学透彻”.本着“问题是数学的心脏”原则，精心设计了