2025年河北省秦皇岛市山海关区高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河北省秦皇岛市山海关区高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={x||x|>1}，则A∩B=A.{x|−2<x<−3} B.{x|−1<x<1}

C.{x|−2<x<−1或1<x<3} D.{x|−3<x<−1或1<x<2}2.已知复数z满足3z−i=(1+z)i，则|z|=(

)A.105 B.1010 C.3.若方程x236+y2tA.(0,36) B.(0,12) C.(6,+∞) D.(36,+∞)4.科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为E1，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为E2，则E1A.10 B.4.05 C.100.05 D.5.如图，某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该储存仓的体积为(

)A.33π

B.4336.已知函数f(x)=sin(3x+π4)，将f(x)的图象向右平移φ(|φ|<π2)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与f(x)A.−π12 B.−π6 C.7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c,0)，过点A且斜率为k的直线l与圆(x−c)2A.[3,3+22] B.[3,3+43]8.已知β为锐角，且tanβ>2，2sinα=cos(2β−α)，则tanα的最小值为(

)A.−23 B.23 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组样本数据x1，x2，…，x2n，…，x4n，xA.x1，x2，…，x4n的下四分位数为xn

B.x2n，x2n+1，…，x4n的中位数为x3n+x3n+12

C.x1，x2，…，x2n的平均数小于x2n+1，x2n+2，…，x4n的平均数

D.10.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为5，且满足4sinA+3cos(B+C)+3cos(B−C)=8，则下列结论正确的是(

)A.sinA=45 B.△ABC是锐角三角形

C.b=25 11.已知函数f(x)的定义域为R，若满足f(1−x)+f(x)=−1，且函数f(x+1)是奇函数，则下列结论正确的是(

)A.f(0)=−1 B.f(2025)=2023

C.f(x+2024)=f(x) D.i=−2024三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(x−1x)13.在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=32AD.若M为DC的中点，则向量AM在向量AD上的投影向量为______(用AD表示)；若AB=3，点G在边DC上，满足DG=13DC，点E，F分别为线段AB，BC14.已知函数f(x)=13mx3−ex+1有三个极值点x1，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}是公差大于2的等差数列，其前n项和为Sn，a2=5，且a1+1，a2+1，a5−2成等比数列．

(1)求数列{a16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，PC=AB=2CD=2AD=2，PC⊥底面ABCD，E是PB上一点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若E是PB的中点，求平面PAC与平面ACE的夹角的正弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−1−2x−1．

(1)求f(x)的零点个数；

(2)设x0是f(x)的一个零点，证明：曲线y=18.(本小题17分)

小王是一位篮球运动爱好者，常去居住地附近A，B两个篮球场馆打篮球.已知小王第一次随机选择一个场馆打篮球.若前一次选择A场馆，那么下次选择A场馆的概率为m(0<m<1)；若前一次选择B场馆，那么下次选择A场馆的概率为n(0<n<1)．

(1)若m+n=1，0<m≤0.8，求小王前三次选择相同场馆打篮球的概率的最大值；

(2)求小王第二次去B场馆打篮球的概率；

(3)若m=0.6，n=0.2，设小王前两次选择A场馆打篮球的次数为X，求X的分布列和数学期望．19.(本小题17分)

蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下左图所示.在平面直角坐标系中，圆A：(x−12)2+y2=14，点M是直线l：x=1上在第一象限内的任一点，直线OM的倾斜角为θ(O为坐标原点)，且交圆A于点N(N与O不重合)，第一象限内的点P在直线OM上，且满足OP=NM，一蔓叶线C的方程为y2=x31−x，如图所示．

(1)求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围；

(2)证明：点P在蔓叶线C上；

(3)设直线l0：mx+ny=1(m2+n2≠0)与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线OR，OS，

参考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6.B

7.A

8.C

9.ABD

10.AC

11.AD

12.70

13.118AD

14.[315.解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>2)，

由a2=5，且a1+1，a2+1，a5−2成等比数列，

得a1+d=5(a1+d+1)2=(a1+1)(a1+4d−2)，解得a1=3d=2(舍去)，或a1=2d=3．

∴an=2+3(n−1)=3n−1；

(2)bn=(−1)n+12an+3(3n+2)an=(−1)n+16n+1(3n+2)(3n−1)=(−1)n+1(13n−1+13n+2)，

当n为偶数时，Tn=12+15−15−18+18+111−...−13n−1−13n+2=12−13n+2；

当n为奇数时，Tn=12+15−15−18+18+111−...+13n−1+13n+2=12+13n+2．

∴Tn=12−13n+2,n为偶数12+13n+2,n为奇数．

16.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，CD=AD=1，

则∠CAB=∠ACD=45°，AC=2，

在△ABC中，AB=2，则BC=AC2+AB2−2AC⋅ABcos45°=2，

即AC2+BC2=4=AB2，

于是AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

得PC⊥AC，又PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，

则AC⊥平面PBC，又AC⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBC．

(2)由(1)知，AC⊥平面PBC，而CE⊂平面PBC，

则AC⊥CE，又PC⊥AC，

因此∠PCE是二面角P−AC−E的平面角，

在△PBC中，PC⊥BC，PC=2，BC=2，

则PB=6，由E是PB的中点，得CE=PE，∠PCE=∠CPB，

于是sin∠PCE=sin∠CPB=26=33，

所以平面PAC与平面ACE的夹角的正弦值为33．

17.解：(1)函数f(x)=ex−1−2x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，

求导得f′(x)=ex+2(x−1)2>0，

函数f(x)在(−∞,1)和(1,+∞)上均单调递增，

由f(0)=2>0，f(−2)=1e2−13<0，得f(x)在(−∞,1)上有唯一零点x1，

由f(2)=e2−3>0，f(54)=e54−9<0，得f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x2，

所以f(x)有且仅有两个零点．

(2)曲线y=ex在点(x0,ex0)处的切线方程为y−ex0=ex0(x−x0)，即y=ex0x−x0ex0+ex0，

设曲线y=lnx在点(x3,y3)处的切线斜率为ex0，

则ex0=1x3，x3=X012P0.40.30.3所以数学期望E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.3=0.9．19.解：(1)因为蔓叶线C的方程为y2=x21−x，

则x21−x≥0且1−x≠0，

由于x2≥0恒成立，

所以x21−x≥0等价于1−x>0，

解得x<1，

由图知道，蔓叶线C的位置，所以x≥0，

综上，知道0≤x<1，

则蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围为[0,1)．

(2)证明：设M(1,y0)(y0>0)，

已知直线OM的方程为y=kx(k=y0)，

将其代入圆A的方程(