2021第十三届全国赛补赛数学类A卷试题

更多大学公共基础课程、考研、竞赛资源参见微信公众号：考研竞赛数学(ID:xwmath)相关知识点总结与解题思路分析、探索参见公众号《考研竞赛数学》在线课堂，或公众号回复“在线课堂”一、(15分)设S为三维欧氏空间中的一个椭球面，P为空间中的一个固定点，P不在S上.对任意的X∈S，记X*是线段PX的中点.问：所有这样的点X*构成的轨迹是什么？证明你的结论.设定点P=(α,β,吖)，则对任意X=(x,y,z)∈S，由题意有,y*=,z*=由于(x,y,z)在椭球面上，故满足椭球面方程，即由此可知X*构成的曲面图形是一个中心点为的椭球面.三、(15分)设R={0,1,4,9,16}，U为R上的3阶方阵全体:aij.元素个数多于59—53—18，则必存在不同的A,B∈S使得AB=BA.【参考证明】：设|E|表示集合E≤Rn×n的元素个数.显然有|U|=59.又记D={M∣M∈U,M为对角阵}，则|D|=53.再记则|J|=2.现记令L=L0UL1UL2UL3UL4,H=S0US1US2US3US4，则L中的元素乘法可换，H中的元素乘法也可换.注意到D,J,L,H两两互不相交.令T=DUJULUH，则现倘若S中任意两不同元素皆不可换.考察S=(S∩T)U(S∩(U\T)).|S|=|S∩T|+|S∩(U\T)|≤|S∩T|+|U\T|.由于D,J,L,H这4个集合中每个集合都是乘法可换集，故有|S∩T|≤4因为，否则的话导致|S∩T|≥5，从而D,J,L,H这4个集合中必有一个集合包含S中矛盾.证毕.b+b=1的一组实数.又设M1为5×3矩阵，其每一行都为a1,a2,a3的一个排列；M2是5×2矩阵，其每一行都为b1,b2的一个排列.令M=(M1,M2)，它为5×5矩阵.证明:(2)M必有绝对值小于或等于2+3的实特征值λ.【参考证明】：(1)将M分块为.显然M≠0.取M的Jordan不失一般性，令λ1,…,λs为M的非零特征值，λs+1=…=λ5=0.于是由M的Jordan分解可看出:s≤rankM，且上式中第一个不等式来自施瓦茨不等式.注意到从而有M与K有相同的特征值.由Schur不等式，得所以|tr(M)|2≤(rankM)(5+26).(2)考虑M的极端情形:M1的每一行均取a1,a2,a3;M2的每一行均取b1,b2，从而rankM=1.由(1)得|trM|2=|trA+trD|2一般情形下,注意到：M有λ=a1+a2+a3+b1+b2为其特征值，此λ满足即所证结论成立.从而注意到：M有λ=a1+a2+a3+b1+b2为其特征值，此λ满足|λ|≤2+3.即所证结论成立.五、(15分)设ak∈(0,1),1≤k≤2021，且(an+2021)2022=an+an+1+an+2+…+an+2020，n→+∞【参考证明】：记X=20211/2021.若{an}收敛到A，则A2022=2021A.从而可得A=0或A=X.令则下面证明{xn}收敛到1.令s=min{x1,x2,…,x2021}，则0<s<1且归纳可证s≤xn<1,Vn≥1.则利用数学归纳法易证{yn}为小于1且单调增加的正数列.所以由单调有界收敛定理，{yn}收敛且极限为1.利用夹逼准则以及yn≤xn<1,Vn≥1得nxn=1.即可得2022≥,从而≥1.因此L==1,得limxn=n→∞计算并说明理由.关于α≥0一致有界.而数列单调且当n→