二重积分的概念和性质课件

机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质一、问题的提出回想：定积分中会求平行截面面积为已知的立体体积，旋转体体积。一般立体的体积如何求？引例1．曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是平面上的有界闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于的柱面，这里且在上连续。它的顶是曲面此立体称为曲顶柱体。机动目录上页下页返回结束曲顶柱体机动目录上页下页返回结束柱体体积=特点：平顶.曲顶柱体体积=分析：底面积×高？回忆：曲边梯形面积如何求？思想是以直代曲、以不变代变。如何创造条件使平与曲这对矛盾转化？机动目录上页下页返回结束播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取极限”的方法，如下动画演示．机动目录上页下页返回结束

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取极限”的方法，如下动画演示．机动目录上页下页返回结束

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求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取极限”的方法，如下动画演示．机动目录上页下页返回结束1)分割“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束对二重积分定义的说明：(1)

在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的；在小区域内的点的取法是任意的。(2)二重积分中面积元素象征着积分和中的因此

在直角坐标系下用平行于D则面积元素为(3)坐标轴的直线网来划分区域机动目录上页下页返回结束故在直角坐标系下二重积分可写为中是()(A)最大小区间长(B)小区域最大面积(C)小区域直径(D)最大小区域直径D选择题机动目录上页下页返回结束二重积分的几何意义1)当时，二重积分表示以为底的曲顶柱体体积。为顶，以此时，二重积分表示曲顶柱体体积的负值。2)当被积函数时，柱体在面下方，机动目录上页下页返回结束例设为圆域二重积分二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质(k

为常数)

为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束二重积分中值定理几何意义若为在闭区域上的非负连续函数，则以为曲顶的曲顶柱体的体积为底，等于以D为底，以为高的平顶柱体的体积。机动目录上页下页返回结束解例1

的大小,

与比较积分其中是三角形闭区域，三顶点各为在D内有机动目录上页下页返回结束练习.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知例1.

比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束例2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有机动目录上页下页返回结束解

例3判断的符号。机动目录上页下页返回结束解例4

估计的值，其中

故机动目录上页下页返回结束例5

估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束(1).设函数D位于x轴上方的部分为D1,在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则机动目录上页下页返回结束8.二重积分的对称性若若(2)

域D关于y轴对称,D1为D的右半部分

,则则若若在第一象限部分,则有(3)

域D关于原点对称,两部分分别记为

D1和D2,则则若若机动目录上页下页返回结束(4)

域D关于y=x

对称,则域D1

、D2关于y=x

对称,则机动目录上页下页返回结束例6:设,f(x)为D所以解:因