二阶线性微分方程的解的结构课件

*（1）及（2）齐次线性微分方程。方程（1）叫做二阶线性微分方程。方程（2）叫做对应于(1)的定理1（3）也是（2）的解，其中、是任意常数。如果函数与是方程（2）的两个解，则

二阶线性微分方程的解的结构

*所谓与线性无关是指：一般的，设是定义在区间I上的n个函数，成立，有恒等式则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关。使得当x∈I时如果存在n个不全为零的常数，定理2则（3）就是方程（2）的通解。若与是方程（2）的两个线性无关的特解，说明：（1）齐次方程的解符合叠加原理;（2）叠加解（3）不一定是方程（2）的通解。相互独立，即与无法合并时，只有当与（3）才是（2）的通解。*

n阶线性微分方程的n个线性无关的特解，（4）就是方程（5）的通解。是n阶齐次线性微分方程若推广：则（5）例1解方程解与是方程的两个特解，并且这两个解线性无关，容易验证:所以方程的通解为：*一阶线性微分方程其通解为改写为是该方程的一个特解；是对应齐次方程的通解。是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。定理3设

y*(x)是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，Y(x)是与（1）对应的齐次方程（2）的通解，那末y=Y(x)+y*(x)分析:*例2解方程解是对应齐次方程的通解。由例1知：所以所给方程的通解为：容易验证是所给方程的一个特解；定理4而及的特解设非齐次线性方程（1）右端是几个函数之和，如分别为及则就是原方程的特解。*三、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程（1）其中p、q为常数。指数函数（适当地选取

r）最有可能是方程（1）的一个解。（2）把代入方程（1），整理得只要r

满足方程（2），就是（1）的一个特解。（1）的特征方程:（2）的根称为特征根.*由此得（1）的通解为：可化为（i）当特征方程有两个不相等的实根：

（ii）当特征方程有两个相等的实根：

r1=r2=r可得方程（1）的一个特解：y1=erx可得方程（1）的两个不相关的特解：及，还需求出另一解y2，并且要求不是常数。设即00将和代入微分方程（1），得*由r是特征方程的根，得选取u=x，从而微分方程（1）通解为即可得方程（1）的两个复数形式的解得方程（1）的另一特解为：特征方程有一对共轭复根（iii）*由定理1：于是得实数函数形式的通解为二阶常系数齐次线性微分方程的通解如下表所示两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根特征方程的两个根微分方程的通解为方程（1）的一个特解。也是方程（1）的一个特解。*例1求下列微分方程的通解解（1）所给微分方程的特征方程为特征根为：因此所求通解为（2）特征方程为所求通解为（3）特征方程为所求通解为*n阶常系数齐次线性微分方程（3）其中为常数。设则将y及其各阶导数代入方程（3）中得（4）（3）的特征方程:若r是（4）的根，函数就是（3）的一个特解。n次代数方程有n个根,特征方程中的每一个根对应着通解中的一项,且每一项中都含有一个任意常数.*与特征方程的根对应的微分方程的解为单实根一对单复根特征方程的根微分方程通解中的对应项给出一项给出两项k重实根给出k

项一对k重复根给出2k

项n阶常系数齐次线性微分方程的通解为其中齐次方程n个线性无关的解.*例2求下列方程的通解解特征根为所求通解为（1）所给微分方程的特征方程为（2）特征方程为特征根为因此所求通解为*

四、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是其中p、q是常数。(一)型是x的一个m次多项式：其中为常数，对f(x)的下面两种最常见形式，采用待定系数法来求出y*。由定理3，只要求出(1)的一个特解y*及(1)对应的齐次方程的通解Y，即可求得(1)的通解:*可能是方程(1)的特解(其中Q(x)是某个多项式).要使(3)成立，Q(x)应是一个m次多项式，推测：代入方程(1)并消去为了确定Q(x)，将得讨论：（i）如果即λ不是特征根。不妨设代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定进而得(1)的特解00*（ii）如果且即λ是特征方程的单根。同样可以定出的系数令（iii）如果且，即λ是特征方程的重根。要使(3)成立，应是一个m次多项式,令要使(3)式成立，仍是比较(3)式两端的系数来确定的系数。应是m次多项式.*注：若λ是特征方程的s

重根，k=s.上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但k是特征方程含根λ的重复次数，即若λ不是特征方程的根，k=0；2λ是特征方程的重根k=0λ不是特征根1λ是特征方程的单根其中总之，当时，方程(1)具有形如的特解，其中是与同次(m次)的多项式，*代入所给方程，得所以于是得原方程的一个特解为所求通解为于是齐次方程的通解为：所以特征根为：又λ=0不是特征根，故原方程特解设为：例1

求下列方程的通解（1）对应齐次方程的特征方程为解*于是齐次方程的通解为由于λ=2是特征方程的单根，对应齐次方程的特征方程为；代入所给方程，得所以于是得原方程的一个特解为所求通解为故原方程特解设为：*例2

求解解于是齐次方程的通解为由于λ=0不是特征方程的根，对应齐次方程的特征方程为代入方程，得所以于是得原方程的一个特解为所求通解为故原方程特解设为：把代入上式，得所以原方程满足初始条件的特解为*(二)型由欧拉公式：变为：把*由第一种情形及定理4的结论，对于此种类型，特解可设为：改写为如下形式：

m=max{l,n}。其中与都是m

次多项式，其中都是m次多项式，0λ±iω不是特征根k=1λ±iω是特征根m=max{l,n}，且*代入所给方程，得所求通解为解对应齐次方程的特征方程为于是齐次方程的通解为由于所以于是得原方程的一个特解为故原方程特解设为：λ±iω=±2i不是特征方程的根，取例3

求方程的通解。*代入所给方程，得所求通解为解齐次方程的特征方程为于是齐次方程的通解为由于故原方程特解设为：λ±iω=1±2i

是特征方程的根，取