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文档简介

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多元函数微分法及其应用**第一节多元函数基本概念一问题的提出三多元函数的概念四多元函数的极限五多元函数的连续性六小结与思考判断题二平面点集(Conceptionoffunctionsofseveralvariables)**一问题的提出观察几个例子

例1理想气体的体积V与温度T成正比，而与压强P成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出（其中R是比例常数）

例2三角形的面积A依赖于三角形的两条边b和c,以及这两边的夹角C，它们之间的关系，由下面的公式给出这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。**1邻域二平面点集(Planepointset)**2区域(Domain)（1）内点**（3）边界点**（4）聚点内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．**例如，即为开集．（5）开集(6）闭集例如，**连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，**（7）连通集连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，**有界闭区域；无界开区域．例如，（8）有界点集、无界点集**3n维空间(Spacen)设两点为比如：

当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．**三多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数．**例1

求的定义域解所求定义域为例2

求的定义域。解所求定义域为**

二元函数的图形**说明：二元函数的图形通常是一张曲面.**例如例如**四多元函数的极限**注意：（2）定义中的方式是任意的；（3）二元函数的极限也叫二重极限（1）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限不同于二次极限**例3

求证证当时，所以结论成立．**例4

求极限解其中多元函数的极限可以应用一元函数求极限的法则**例4

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．**确定极限不存在的方法：**五多元函数的连续性1定义**例5

讨论函数在(0,0)处的连续性．解当时，**故函数在(0,0)处连续.**2间断点函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：**例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．**3闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理**多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在

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