上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷命题人：______审核人：______、______试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚．2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上．一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第题每题5分）1.已知拋物线，则其准线方程为______.2.已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为__________.3.设为正整数，若，则______.4.设，则______.5.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）6.设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为______.50446644216606580562615564350242354896321452415248226622158626637541995842367224583752185103371839117.如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为______.8.设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______.9已知函数和满足，函数满足，则______.10.小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为______.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则______.12.已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，分别满足与，则的最小值是__________.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13～14邀每题4分，第15～16题每题5分）13.下列求导运算中，不正确的是（）A. B.C. D.14.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（）A. B. C. D.15.对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（）A.与不互斥 B.与不对立 C.与互斥 D.与相互独立16.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（）①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身；③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称.A② B.③ C.①② D.②③三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，三棱柱中，底面是的中点.（1）求证：平面；（2）若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小.18.设且，，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围.19.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.（1）求图中的值；（2）估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从评分在受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率.20.在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积；（3）过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值.21已知且，曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率；（2）设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点坐标；（3）设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷命题人：______审核人：______、______试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚．2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上．一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第题每题5分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】384【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】33【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】##【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】8【12题答案】【答案】二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13～14邀每题4分，第15～16题每题5分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】D【16题答案】【答案】D三、解答题（本大题共5题，满分78分）【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）.【18题答案】【答案】（1）