山东省青岛市青岛第九中学2024-2025学年高一下学期3月阶段检测 数学试题（含解析）

青岛九中2024-2025学年度第二学期阶段检测高一数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共73分；第Ⅱ卷为非选择题，共77分，满分150分，考试时间为120分钟.2.第Ⅰ卷共3页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A､B､C､D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷共1页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上.一､单选题（每题5分，满分40分）1.的内角的对边分别为.已知，则（）A.6 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理直接列式计算求解.【详解】在中，由余弦定理得：代入得：，整理得：，解得或（负值舍去）.故选：A2.已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.【详解】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量为，故选：D．3.函数（，，）的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象求得函数的解析式，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，即，所以，所以，当时，，可得，解得，因为，令，可得，所以，又由，所以为了得到的图象，可以将的图象向左平移个单位长度.故选：A.4.在中，点在边上，且．点满足．若，，则（）A. B. C.12 D.11【答案】A【解析】【分析】先根据平面向量的线性运算将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以为的中点，则，故.故选：A.5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C6.在中，若，且，则的外接圆的面积为（）A.4π B.8π C.16π D.64π【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理边角化可得，即可求解余弦值，进而可得正弦值，利用正弦定理即可得半径求解.【详解】因为，由正弦定理可得，设，，，，则，由正弦定理得，，即，则外接圆面积为，故选：C．7.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.【详解】由题意，在中，由余弦定理得；因为，所以，在中，由正弦定理所以，解得.故选：D8.质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设时刻两点重合，可得出，求出表达式，然后利用三角函数的定义以及诱导公式判断即可.【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合，则，即，此时点，即，当时，，故A正确；当时，，且，，即，故C正确；当时，，且，，即，故D正确.由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误.故选：B.二､多选题（每题6分，满分18分）9.下面是关于复数（i为虚数单位）命题，其中真命题为（）A. B.C.z的共轭复数为 D.z的虚部为【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的基本概念，复数的乘方及模的运算逐项判定即可.【详解】由复数，则，所以A错误；因为，所以B正确；根据共轭复数的概念，可得复数的共轭复数为，所以C正确；根据复数的基本概念可得，复数的虚部为，所以D正确.故选：BCD.10.在中，角，，所对的边分别为，，，，，为外接圆圆心，为的中点．则下列结论正确的有（）A.B.外接圆面积为C.D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角，再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答．【详解】在中，由正弦定理及得：，而，则有，即，又，，则，所以，即，A正确；由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；如图，，C正确；由余弦定理得：，所以，当且仅当时取等号，因此，，所以的最大值为，D正确．故选：ACD11.已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（）A.当时，直线过边的中点B.若时，与的面积之比为C.若，且，则为等边三角形D.若，且，则满足【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A；对于B，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比，判断B；对于C，由条件可判断为的外心和重心，由此判断C；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果，判断D.【详解】对于A，设的中点为，则当时，有，即得，，三点共线，故直线过边的中点，故A正确；对于B，延长至，使，延长至，使，连接，设其中点为，连接并延长至，使,连接，则四边形是平行四边形，所以，而时，，故，即三点共线，且，根据同底等高三角形面积相等，则,即与的面积之比为，故B错误；对于C，由于且时，，故为的外心和重心，所以点在线段上，为的中点，且，又，故，所以，，所以，所以故为等边三角形，故C正确；对于D，因为，且，由得，，所以,即，故D正确，故选：ACD.三､填空题（每题5分，满分15分）12.已知为四边形外一点，且.则__________.【答案】44【解析】【分析】确定四边形为平行四边形，再由求得坐标，进而可求解.【详解】由，可得：，即，所以四边形为平行四边形，设，所以，所以，所以，所以，故答案为：4413.在中，，若O为内部的一点，且满足，则______．【答案】【解析】【分析】确定O的位置，利用基底法及数量积的运算法则计算即可.【详解】取的中点，易知，同理有，所以O为的重心，则，.故答案为：14.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，由条件可得的周期，结合周期公式求的范围，再利用正弦函数的单调性求函数的递减区间，列不等式求的范围即可．【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，即，若在上单调递减，则的周期，，即，得，由，，得，，即，所以的单调递减区间为，，若在上单调递减，则，，即，，又，所以，此时，即的取值范围是.故答案为：.四､解答题（满分77分）15.在中，分别是角所对的边，已知，，，且

．（1）求角A的大小；（2）若面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直则数量积为0得到方程，解得，即可得到角A的大小；（2）由三角形面积公式求得，结合余弦定理得到，从而得到，即可求出的值.【小问1详解】因为且，，

又因为，所以【小问2详解】由题意得，得，又因为在三角形ABC中，

由余弦定理得，所以，

又因为，，所以16.已知向量，函数.（1）求使成立的x的集合；（2）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间内的所有零点之和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利于向量的数量积、三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质解不等式即可；（2）利用三角函数图象变换及性质数形结合计算即可.【小问1详解】由已知可得，所以【小问2详解】结合（1）可知将函数的图象向左平移个单位得，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数，所以，如下图所示，函数与在上有4个交点，记该四个交点的横坐标依次为，则由正弦函数的对称性可知.17.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的长．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得；(2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可.【详解】(1)由AB∥CD可得，则，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的长为.18.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，sinA+asinB＝2．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理将sinB转换成sinA，即可得到角A；（2）利用正弦定理将边a，c转换成与sinB有关系的量，然后根据角B的范围求三角形周长即可．【详解】解：（1）∵，∴asinB＝bsinA，∴sinA+asinB＝sinA+bsinA＝4sinA＝2，∴，△ABC为锐角三角形，于是．（2）由正弦定理：可得，，∴周长，又∵△ABC为锐角三角形，，，∴∴，∴，∴周长的取值范围为．【点睛】思路点睛：利用正弦定理求解三角形周长的一般步骤（已知一边及其对角）：（1）先根据正弦定理将另外两边表示为其对角的正弦值形式；（2）根据周长的计算公式将周长表示为角的正弦形式，根据角度关系将周长公式中的角转化为同一个角；（3）根据三角形的形状确定出（2）“同一个角”的范围，结合三角恒等变换的公式求解出周长的范围.19.如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值.【小问1详解】由题意可知，、的夹角为，由平面向量数量积的定义可得，因为，则