贵州省遵义市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

遵义市第二中学2024-2025学年度第二学期第一次月考高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名.2.考生作答时，将答案写在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整，字迹清楚.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念直接计算即可.【详解】由集合，，得，故选：C.2.与终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据可得正确的选项.【详解】由.故选:A.3.已知点是角终边上的一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求解.【详解】根据三角函数的定义，可得.故选：A.4.已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（

）A.7，8 B.7，16 C.6，8 D.6，16【答案】B【解析】【分析】根据平均数与方差的基本公式以及性质求解即可.【详解】由题意，，.所以，，，的平均数，方差.故选：B.5.若是非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得.【详解】如图作，设，，由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形，因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，故也不一定成立，即必要性不成立.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性、特殊值即单调性可以排除错误答案.【详解】的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故排除A；因为，故排除D；当时，，在单调递增，故排除B，故选：C.7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据：，）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】由题意，应用对数的运算性质求的范围，即可得结果.【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，令小时后，，则小时，所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.故选：B8.如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（

）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为，所以，所以，又，，所以，因为，，三点共线，所以，由图可知，，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列命题中错误的有（

）A，则 B.若，则C.若，则存在实数，使得 D.【答案】AB【解析】【分析】根据向量相等的概念判断A；举反例判断B；根据向量共线的含义判断C；根据向量加减法的三角形法则，判断D.【详解】对于A，的充要条件是且方向相同，A错误；对于B，若，当时，不一定共线，B错误；对于C，若，则存在实数，使得，C正确；对于D，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可知，D正确，故选：AB10.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（）A.A与C互斥 B.B与C对立 C.A与B相互独立 D.【答案】AC【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的概念可得选项A正确，选项B错误；根据可得选项C正确；计算可得选项D错误.【详解】样本空间为，事件，事件，事件，A.∵，∴与互斥，A正确.B.∵，∴与不对立，B错误.C.∵，∴，∵，∴，与相互独立，C正确.D.∵，∴，∵，∴，D错误.故选：AC.11.如图，已知正方形边长为，动点从中点出发，以每秒一个单位的速度在正方形的边上沿着的路线运动，设运动时间为秒，，则下列说法正确的是（

）A. B.C.有个零点 D.偶函数【答案】ACD【解析】【分析】利用坐标法来求向量积，并对动点的坐标分五类讨论，即可得五个分段函数解析式，从而可判断各选项.【详解】如图建立直角坐标系，可知，设，可知所以即，当时，，所以，即，故A正确；当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，所以综上可得,故B错误；当时，由或（舍去）；当时，由或（舍去）；当时，由（舍去）或（舍去）；当时，由或（舍去）；当时，由或（舍去）；综上可得的零点有个，故C正确；由于定义域为，关于直线对称，当时，由所以，则此时关于直线对称；当时，，则，则此时关于直线对称；当时，，则，则此时关于直线对称；故为是偶函数，故D正确；故选：ACD．【点睛】方法点睛：主要是运算分类讨论思想来求的五个分段解析式，然后再利用解析式可进行各选项判断.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则为_______（填数字）.【答案】【解析】【分析】将向量变形，代入计算即可.【详解】∵，，，故答案为：．13.已知是第四象限角，且，那么的值为______【答案】【解析】【分析】由平方关系求得正弦，再由商的关系即可求解.【详解】因为是第四象限角，所以，由，可得：，所以，所以，故答案为：14.已知函数，则函数的零点个数为______.【答案】7【解析】【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解.【详解】由题意，令，解得或，作出的图象，如图，由图可知，直线与图象有3个交点，直线与图象有4个交点，所以原方程有7个解，即函数有7个零点.故答案为：7四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.设，是两个不共线的向量，已知，，．（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.（2）根据向量平行的结论，求参数的值.【小问1详解】由已知，得．因，所以.又与有公共点，所以，，三点共线．【小问2详解】由（1），知，若，且，可设（），所以，即．又，是两个不共线的向量，所以，解得．16.（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）弦化切求解即可；（2）同角三角平方关系即可求解.【详解】（1），（2）因为，所以，，所以17.某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数；（3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率的性质求，再根据平均数运算求解；（2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4,运算即可求解.（3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解.【小问1详解】第一至第五组对应的频率分别为；；；；，所以，解得，所以参赛歌手的平均成绩为分.【小问2详解】由，，得参赛歌手成绩的分位数为分.【小问3详解】由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，；在的人数为人，分别记为，.在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件，这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件，故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为.18.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若的值域为，求a的取值范围；（3）是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）单调增区间是，单调减区间时；（2）（3）不存在，理由见解析；【解析】【分析】（1）由得到或，再结合二次函数及对数函数的单调性即可求解；（2）由，两类情况讨论即可；（3）由在上单调递减，在恒成立，分别求解的范围，即可判断.【小问1详解】当时，，由，可得：或，易知，在单调递增，在单调递减，又单调递增，所以的单调增区间是，单调减区间时；【小问2详解】当时，，显然满足值域为，当时，要使得的值域为，需满足：a>016−12a≥0，解得：，综上可知：若的值域为，a的取值范围是；【小问3详解】不存在，理由如下：若函数在区间上单调递减，需满足：在上单调递减，且在恒成立，若在上单调递减，满足，当时，需满足，即，当时，需满足，恒成立，综上可得：在上单调递减a的取值范围是，若在恒成立，即，令，易知在对称轴处取到最大值，所以，显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立，所以不存在实数使得函数在区间上单调递减.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.（1）已知，求；（2）若向量，求证：；（3）记，且满足，求的最大值.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用新定义计算即得.（2）由新定义证得，，即可证明.（3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性