江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期3月学情调研 数学试卷（含解析）

2024—2025学年度第二学期月考学情调研高一数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知两点，，则与向量同向的单位向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由A、B的坐标求得，再求出即可.【详解】因为，所以，所以与同向的单位向量为.故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.详解】.故选：A.3.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再由诱导公式得到，利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以.故选：C4.在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.【详解】

如图，因，则，即，解得：.故选：A.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由结合两角差正切公式求得.【详解】由得，故选：A.6.若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角；【详解】因为，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：B.7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案.【详解】解:因为，,所以,所以故选:C8.在中，内角、、所对的边分别是、、，且.若角的平分线交于点，且.则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理的边角互化可得，从而可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解.【详解】由利用正弦定理化边为角可得：，因为，，所以，即，因为，所以.因为角的平分线交于点，所以，所以，所以，即，所以，当且仅当，，即，时，等号成立，所以的最小值为，故选：D二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，且，则B.已知为单位向量，若，则在上的投影向量为C.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件D.若，则与的夹角是锐角【答案】BC【解析】【分析】利用向量的运算法则可判断A，利用投影向量的求法可判断B，利用数量积的含义可判断C,D.【详解】因为，所以，即，不一定得出，A不正确；在上的投影向量为，B正确；若存在负数，使得，则，若，则，不能得出“存在负数，使得”，C正确；若，则，与的夹角不一定是锐角，D不正确.故选：BC10.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.在中，若，则必是等腰三角形C.在锐角中，不等式恒成立D.若，且有两解，则的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】A将化为，再利用正弦定理和余弦定理化简；B利用角的范围以及正弦函数图象即可；C利用以及正弦函数的单调性；D画出图形，数形结合.【详解】，则，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角为钝角，故A正确；，则，由可得或，即或，故B错误；锐角有，因，则，由于在上单调递增，则sinA>sinπ2−B=cosB，故由图可知，欲使有两解，则，故D错误.故选：AC11.已知，则（）A.、，使得B.若，则C.若，则D.若、，则的最大值为【答案】BC【解析】【分析】由无解可判断A；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C；化简，结合函数单调性，可判定D.【详解】对于A，若，由可得，即，解得，又因为，所以，所以方程无解，故A错误；对于B，因为，所以，即，因为，所以，所以，故B正确；对于C，由选项B可知，，所以，故C正确；对于D，因为，，所以，令，则在上单调递减，无最小值，所以在上无最大值，故D错误.故选：BC三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.__________.【答案】【解析】【分析】利用切化弦，再利用两角和正弦公式即可求解.详解】故答案为：.13.已知圆内接四边形中，则四边形的面积为.【答案】【解析】【详解】连接BD,圆内接四边形对角互补，，利用余弦定理,得∴,四边形面积.故答案为：.14.如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________.【答案】①.4②.【解析】【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.【详解】因为，，所以为正三角形，所以，，因为，所以，因为，所以，所以.因为是线段上的一个动点，所以可设，所以，因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围是.故答案为：4；【点睛】关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键.四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，且．（1）若向量与互相垂直，求的值．（2）若向量与互相平行，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小问1详解】，，，，即，得，若向量与互相垂直，则，即得，，解得或.【小问2详解】由，所以，所以不共线，由向量与互相平行，可知存在实数，使得，，解得，当时，；当时，.或.16.如图，在中，，E是AD的中点，设，.（1）试用，表示；（2）若，与的夹角为，求【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的模公式和向量的数量积公式即可求解.【小问1详解】因为，所以.所以.因为E是AD的中点，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以，所以17.在中，设角所对的边分别为.（1）求；（2）若点M为边AC上一点，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形内角和与二倍角公式，求得半角三角函数值，从而可得答案；（2）由锐角三角函数表示边，根据余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】由，根据，则，由正弦定理，则，由，则，可得，由，即，则，可得，，则.所以.【小问2详解】在中，，，则，，由，且，则，由余弦定理可得，则，解得，即，所以的面积.18.已知向量，设.（1）求的单调增区间；（2）若，求的值；（3）令函数，求值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）化简的解析式，然后利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）根据三角恒等变换的知识求得.（3）化简的解析式，进而求得的值域.【小问1详解】，由，解得，所以的单调增区间是.【小问2详解】，所以.因为，所以，在这个区间内.所以..【小问3详解】,，因为，所以，则.所以的值域是.19.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为.向量称为函数的“相伴向量”.（1）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；（2）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围；（3）当向量时，伴随函数为，函数，若，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围；（2）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围．（3）先求得，由，得，再根据正弦函数的性质分类讨论求出函数的最值。进而可得出答案.【小问1详解】由题知：，，由，得，令，得，令，得，由，得，令，得，令，得，所以在和上单调递增，在和上单调递减，且，如图，∵图像与有且仅有四个不同的交点，所以实数k的取值范围为；【小问2详解】，其中，，∴当即时，取得最大值，此时，令，则由，显然，则，解得，，因为函数在上都是增函数，所以函数在上单调递增，所以，所以；【小问3详解】由题意，则，设函数在区间上最大值与最小值之差为，由，得，①