贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市湘才学校2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

都匀湘才学校2025年春季学期第一次月考高一数学·试卷试卷共4页，19小题，满分150分.试卷用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量.【详解】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等.

对于选项B，与方向相同，并且由于，

所以.

对于选项C：与方向不同，所以与不相等.

对于选项D：与方向不同，所以与不相等.

与相等的向量为.故选：B.2.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.【详解】由题意得，，∴.故选：B.3.如图，在中，是边中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到.【详解】是边的中点，，，是边上靠近点的三等分点,，，又，.故选：C4.已知向量，.若，则（）A.4 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求出的值，即可求出，再根据求出的坐标，最后再计算其模.【详解】因为，且，所以，则，所以，则.故选：D5.已知向量，夹角为，且，则（）A. B.10 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的模长公式求出，再根据向量数量积公式计算.【详解】已知，可得：

已知向量，夹角为，，，则

则.故选：C.6.结合图示，某坡度为看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（）A. B. C.90m D.【答案】A【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可.【详解】如图所示，由题意，则，在中，因为，所以，在中，，所以建筑的高度为.故选：A.7.在中，内角所对应的边分别是，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.【详解】由余弦定理可知，即，整理得，解得或（舍去）.故选：D.8.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求面积即可.【详解】由题意，则.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.的实部为3B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点在第四象限【答案】ACD【解析】【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.【详解】由于，则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，故选：ACD10.已知平面向量，，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，因为，所以，整理得：，解得，故C错误；所以，，故A正确；因为，，所以，所以，故B正确；，故D正确.故选：ABD11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A.B.是钝角三角形C.的最大内角是最小内角的倍D.若，则外接圆半径为【答案】ACD【解析】【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可.【详解】对A，因为在中，所以，解得，所以根据正弦定理知，故A正确；对B，易知角C为最大角，则，，所以角C为锐角，故锐角三角形，故B错误；易角A为最小角，则，所以，即，又，所以，所以，故C正确；设外接圆的半径为R，则由正弦定理得，解得，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.若，，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量减法的坐标式计算即得.【详解】.故答案为：.13.已知，，则______.【答案】5【解析】【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可.【详解】由题意，则，故答案为：514.如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________.【答案】12【解析】【分析】利用平面向量的线性运算用表示，再进行数量积运算即可.【详解】依题意，因为三角形是等边三角形，.故答案为：12.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是夹角为的两个单位向量，.（1）求；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先计算出的值，再根据数量积的运算律即可得结果；（2）通过计算即可证得结果.【小问1详解】由题意可得，.【小问2详解】证明：，.16.已知.（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，结合，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由向量，可得且，则.【小问2详解】解：由向量，可得，因为，可得，即，解得.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，的面积为，求b，c的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可；（2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可.【小问1详解】由正弦定理及．得，即，即，因为，所以，所以，所以．【小问2详解】由题意得的面积，所以①．又，且，所以②．由①②得．18.从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且．（1）求的面积；（2）若是线段的中点，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选择①，则得，由余弦定理即可得到，结合条件，，代入三角形面积公式即可求解；若选择②，由射影定理，又，，结合余弦定理即可得到，代入三角形面积公式即可求解；（2）由中点向量得，，平方化简可得，即可求解.【小问1详解】选择①，因为，即在中，由余弦定理得：，，，又，，故的面积.选择②，因为，则射影定理，得，又，，在中，由余弦定理得：，，，故的面积.【小问2详解】因为是线段的中点，所