江苏省苏州市工业园区南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

南航苏州附中2024-2025学年第二学期高一年级三月阳光测试数学（本试卷共19道题目，满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．2.已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．3.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】对于A，通过比较与进行判断，对于B，利用偶函数的定义分析判断，对于C，由函数的定义域是否关于原点对称进行判断，对于D，利用偶函数的定义分析判断.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，则为奇函数，不是偶函数，故D错误.故选：B4.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.5.设函数.已知，，且的最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，，所以，故选：B.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.8.记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）9.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,不妨令,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.10.已知函数，则以下说法中正确的是（）A.的最小正周期为 B.在上单调递减C.是的一个对称中心 D.当时，的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简解析式，再根据三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值的求法，判断出正确选项.【详解】依题意.所以的最小正周期为，A选项正确.由，解得，所以在上单调递减，B选项正确.，所以是的一个对称中心，C选项正确.由于，所以D选项错误.故选：ABC【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值等知识，属于中档题.11.设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（）A.在上有且仅有3个最大值点 B.在上有且仅有2个最小值点C.在上单调递增 D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，须使，解得：，故D项正确；对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个,故B项错误；对于C项，当时，，由上分析知，则，即，而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.记三角形的内角，已知，则________．【答案】##【解析】【分析】由题目条件，利用两角和的正弦公式求出，再结合的范围即可求出.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，所以.故答案为：13.已知为第一象限角，为第三象限角，，则________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，判断所在象限，利用同角公式求出目标值.【详解】由，得，由为第一象限角，得，由为第三象限角，得，则，而，于是，，由，，所以.故答案为：14.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为________．【答案】【解析】【分析】将小正方形与大正方形的面积之比表示关于的三角函数，从而可求，再结合同角关系求的值.【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，故，故所以，故，所以，即，故或，因为，故，所以，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式求出，再利用和角的正弦公式求解.（2）凡（1）的信息，利用和角的余弦求出，进而利用二倍角公式求出，再利用差角的余弦公式求解.【小问1详解】由，得，而，则，所以.【小问2详解】由（1）知，，而，则，，所以.16.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值，并求此时的值．【答案】（1）（2）时，函数最大，最大值为.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由此得到的值，即可求出函数的最小正周期；（2）由的范围即可求出的取值范围，从而得到函数的最大值，并求出对应的的值.【小问1详解】，，，∴，∴最小正周期.【小问2详解】当时，，∴当时，即时，函数最大，最大值为.17.设函数．（1）若，求的值．（2）已知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，结合关系列方程求；（2）由（1）可得函数的最大值和最小值，结合函数的单调性及取最值的条件可求函数的周期，利用周期公式求，结合关系求，由此可得结论．【小问1详解】因为，所以，又，所以，又，所以.【小问2详解】由（1），所以的最大值为，最小值为.因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即，又，所以，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，；所以.18已知．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若，求的值；（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围．【答案】（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或.【解析】【分析】(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解;(2)利用余弦二倍角公式化简,然后由诱导公式得,代入计算即可;(3)由图像平移得函数,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数与图像有一个交点来求解参数的取值范围.【详解】(1)由于，令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．(2)由题意,则,即,由,则(3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象,由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或,即当或时,函数上有唯一零点.【点睛】本题是一道综合性试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题.19.如图，一个半圆和长方形组成木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.（1）设，求三角形木块面积；（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面积最大值为【解析】【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解