黑龙江省牡丹江市名校协作体2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

高一学年下学期3月份考试数学试题考试时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）A.、、三点共线 B.、、三点共线C.、、三点共线 D.、、三点共线【答案】C【解析】【分析】根据向量共线则判断即可.【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.故选：C2.在中，内角所对各边分别为，且，则角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可.【详解】因为，且由余弦定理得，所以，解得，而在中，，则，故A正确.故选：A．3.在正方形中，分别为，的中点，则不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.【详解】由题意可得,A正确；,故B正确；由,,可得,故,故C错误，D正确；故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由，得，则，所以.故选：D5.如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.【详解】因为是的中点，且，所以.因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A.6.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.7.已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为，又，所以.所以：，所以.故选：A8.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.【详解】取中点为，连接，显然，所以.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于向量，，下列命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，当时，必成立，A正确；对于B，若，则反向，，B正确；对于C，当时，，，此时未必共线，C错误.对于D，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，D错误；故选：AB10.已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案.【详解】对于A选项，，故A正确；对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以，所以，即，所以，故B正确；对于C选项，设，由（1）得，所以，又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误；对于D，，设，则，所以，又三点共线，所以，解得，所以为中点，所以，故D正确，故选：ABD.11.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点为外心（外接圆圆心）B.若，则动点的轨迹一定通过的重心C.若，，分别表示，的面积，则D.若，则点是的内心【答案】BCD【解析】【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上.【详解】A选项，，即，故⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误；B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接，则，，则，故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；C选项，如图，分别为的中点，，则，故，所以，故，C正确；D选项，分别表示方向上的单位向量，故，，故⊥，由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，则点是的内心，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，点为所在平面内的点，且，则点为的外心，点为所在平面内的点，且，则点为的内心，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________．【答案】##-15【解析】【分析】由向量平行的坐标表示进行计算．详解】由题意，．故答案为：13.已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________．【答案】【解析】【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）.当时，则，解得.当当反向共线时，，解得.综上所得，求实数的取值范围为.故答案为：.14.平面四边形中，，，，，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据条件可知，由可确定点在以为直径的圆的劣弧上，进而根据圆的性质，当点在的中点时，最小，进而可得.【详解】因，，，故，故，得，又，故点在以为直径的圆的劣弧上，由圆的性质可知，当时，在方向上的投影最小，此时最小，过作交于，易得，故在方向上的投影最小为，故此时.故答案为：四、解答题：本题共5分小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；（2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.【小问1详解】∵，，，∴，∴，∴；【小问2详解】由（1）知，∴，∴；16.已知向量，，函数．（1）求的最小正周期及其对称中心；（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）最小正周期：；对称中心：（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果；（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】，最小正周期.令，解得，则对称中心为【小问2详解】由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，令，做出的图像与直线，如图.由图知，当时，的图像与直线有两个交点.17.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.（1）设函数，试求函数的伴随向量；（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式以及伴随向量的定义即可求解.（2）根据伴随函数的定义可知，利用同角关系以及余弦的和差角公式即可求解.【小问1详解】【小问2详解】,由得，故因此18.如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点．（1）令，，用，表示；（2）求线段的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算求解；（2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得．【小问1详解】∵，分别为，的中点，∴；【小问2详解】设，∵，分别为，的中点，所以，因为三点共线，三点共线，所以，解得，即，由已知与平行且相等，因此是平行四边形，所以，是等边三角形，所以．19.已知，，分别为锐角内角的对边，，，（为外接圆的半径）.（1）证明：；（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆的特征得出，从而由数量积与模长关系