高中数理化知识点总结

中孽散母学向点恁储

1.对于集合，肯定要抓住集合的代表元素，与元素的“确定性、互异性、

无序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y|y=lgx},C={(x,y)|y=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。

留意借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={xX-2x-3=()},B={x|ax=l}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

(答:卜1，0,4

3.留意下列性质：

(1)集合{a「a2,……，aj的所有子集的个数是2。；

(2)若A£BOADB=A,AUB=B；

(3)德摩根定律：

Q(AUB)=(CUA)D(CUB),Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)

4.你会用补集思想解决问题吗？(解除法、间接法)

如：已知关于x的不等式手!<0的解集为M,若3eM且5eM,求实数a

的取值范围。

(V3eM

=ae1,打,25))

eM

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(v),“且"(△)和

“非”（f.

若pAq为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式与其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否留意到A中元素的随意性

和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=-的定义域是

"3）2-----------------

（答：（0，2）U（2,3）U（3,4））

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f（x）的定义域是［a,b］,b>-a>O,则函数F（x）=f（x）+f（-x）的定

义域是o

（答：［a,-a］）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了

吗？

如：f（jx+1）=e*+x,求f（x）.

令t=Jx+1,贝It>0

x=t2—1

.,.f(t)=el2_|+t2-1

f(x)=e*T+x2-l(x>0)

12.反函数存在的条件是什么？

(一一对应函数)

求反函数的步骤驾驭了吗？

(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

l+x(x>0)

如：求函数f(x)=,丁〈的反函数

-x2(x<0)

fx-1(x>1)

(答：L(X)=1-'')

Q(x<0)

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,则f(a)=boL(b)=a

f'[f(a)]=f(b)=a,f[f-'(b)]=f(a)=b

14.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

如何推断复合函数的单调性？

(y=f(u),u=(p(x),如Jy=f[(p(x)]

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数，否则叶叭x)]为减函数。)

如：求y=log1(-x?+2x)的单调区间

2

(设u=-x2+2x,由u>0贝i」0<x<2

且log]uJ,u=-(x-l)2+1,如图：

当x£(0,1］时，uT,又k)g|iiJ,.\yJ

2

当x2)时，uJ,又log|iij,.*.yT

2

……)

15.如何利用导数推断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有f，(x)NO则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若F(x)40呢？

如：已知a>0,函数£。)=*3-人在［1,+8)上是单调增函数，贝必的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f'(x)=3x2-a0

则x4一0或x>聆

由已知f(x)在口，+8)上为增函数，则书41，即a«3

，a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立。f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称

若f(—x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称

留意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的

乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若f(x)=±2*^为奇函数，则实数a=

2X+1-------

(：f(x)为奇函数，xeR,又OeR,.\f(0)=0

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(O,1)时，f(x)=1—，

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令X£(-l,0),贝|J-X£(O,1),f(-x)=—~-

又f(x)为奇函数，.•.f(x)=-=—=--J

4+11+4

2Xx6(-1,0)

4、+1v-0

又f(0)=0,...f(x)=《)

ox

-----xe(0,1)

卬+1v7

17.你熟识周期函数的定义吗？

(若存在实数T(TH0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),则

(答：f(x)是周期函数，1=22为**)的一个周期)

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(。)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期

如:

y=sinx

兀,

-

23721

18.你驾驭常用的图象变换了吗？

f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称

£(刈与-六心的图象关于型对称

f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称

f(x)与ft(x)的图象关于直线y=x对称

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,())对称

将y=f(x)图象左移(>。)个单位>丫=f(X+a)

右移a(a>0)个单位y=f(x-a)

上移b(b>0)个单位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

留意如下“翻折”变换：

f(x)——>|f(x)|

f(x)—>f(|x|)

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=|log2(x+及y=log2|x+的图象

y

y=log2X

19.你娴熟驾驭常用函数的图象和性质了吗?

x=a

(1)一次函数：y=kx+b(kwO)

vk

(2)反比例函数:y=—(k*0)推广为y=b+———丁0)是中心0'(2,b)

的双曲线。

(3)二次函数y=ax2+bx+c(ax0)=a(x+&+崂史图象为抛物线

4ac-b2>对称轴x=T

顶点坐标为

4a;

4分C—卜2

开口方向：a>0,向上，函数丫皿2="------

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系

---二次方程

ax2+bx+c=0,△>()时，两根X?为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程ax?

一根大于k,一根小于kof（k）＜0

(4)指数函数：y=ax(a>0,awl)

(5)对数函数y=logax(a>(),awl)

由图象记性质!（留意底数的限定！）

（6）“对勾函数”

X

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a°=l(awO),a-p=—(a*0)

ap

m.——I

an=vam(a>0),a"=.——(a>0)

Vam

对数运算：logaM•N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga2=log；,M-log；,N,logaVM=-logaM

Nn

对数恒等式：a'°8^=x

对数换底公式：logab=丛Anlogmb"=3ogab

logtaam

21.如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法)

如:(1)xeR,f(x：^^(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-t=f[(-t)(-1)]=f(t,t)

Af(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

Af(-t)=f(t)……)

(3)证明单调性：f(X2)=f[(X2—xJ+X2]=

22.驾驭求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式

法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

（1）y=2x-3+J13-4x

2Vx-4

(2)y=

(3)x>3,y=\

(4)y=x+4+j9-x「(设x=3cos0,0G[0,可)

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和

扇形面积公式吗?

a=|a|.R,S扇=J.R=Ja|.R2)

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

如：若一二＜。＜0,则sin。,cosO,tan。的大小顺序是

8--------------

又如：求函数y=-的定义域和值域。

6

sinx<——，如图:

2

5冗

,2k兀——<x<2kK

4

25.你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调

区间、对称点、对称轴吗？

|sinx|<1,|cosx|<1

对称点为(k0),keZ

7EIT

y=sinx的增区间为2k兀一5,2k7r+—(kGZ)

减区间为2k7t+^,2kK+y(keZ)

图象的对称点为(ku,0),对称轴为*=卜兀+］(1<€2)

y=cosx的增区间为［2k?r,2k兀+兀|(keZ)

减区间为［21<兀+兀，2k兀+2兀］(keZ)

图象的对称点为,兀+^,0),对称轴为x=k兀(kwZ)

y=tanx的增区间为(k兀一5,kir+keZ

26.正弦型函数y=Asin(cox+(p)的图象和性质要熟记。［或y=Acos3x+叫

2冗

(1)振幅|A|,周期丁=巧

|3|

若f(x0)=土A,则x=Xo为对称轴。

若f(x0)=0,则(x0,0)为对称点，反之也对。

(2)五点作图：令cox+(p依次为0,y,7i,费，2兀，求出x与y,依点

(x,y)作图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、co、(p值)

co(X])+(p=0

如图列出<

co(x2)+(p=-

解条件组求8、年值

-JT

△正切型函数y=Atan(cox+(p),T=—

27.在三角函数中求一个角时要留意两个方面一一先求出某一个三角

函数值，再判定角的范围。cosfx+—1,X£兀，—,求X值。

V6/22_

3n.7K7157r.冗5兀.13、

(•兀<X<---，・・----<XH----<----,・♦XH----=----,・・X=----71)

26636412

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你留意(到)运用函数的有界性

了吗？

如：函数y=sinx+sin|x|的值域是

(xiO时，y=2sinxe[-2,2],x<0时，y=0,.*.ye[-2,2])

29.娴熟驾驭三角函数图象变换了吗？

(平移变换、伸缩变换)

平移公式：

(1)点P(x,y)—=(2k)>p,(X，,y,)，jjiijlx=x+h

平移至[y'=y+k

(2)曲线f(x,丫)=0沿向量2=(11,k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=O

如：函数y=2sin(2x-的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的

图象?

(y=2sin(2x-；1横坐标伸长到原来的2倍=2sin_2^x)--

1

一左平%个单位上平移卜个单位,y3nx

=2sin(x-：

纵坐标缩短到原来的1倍

---------------------------2----->y=sinx)

30.娴熟驾驭同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana•cota=cosa•seca=tan—

4

jr

=sin—=cosO=........称为1的代换。

2

“k・二土a”化为a的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2

“奇"、"偶''指k取奇、偶数。

9兀(一^+sin(21兀)=

如:cos——+tan

4

又如：函数y=sina+tana,则丫的值为

cosa+cota-----------------

A,正值或负值B,负值C.非负值D.正值

sina

/的11。+sin2a(cosa+1)、

(y=----------期5=_7--------^>0,・・・aw0)

cosacos-a(sina+1)

cosa+、)

sina

31.娴熟驾驭两角和、差、倍、降塞公式与其逆向应用了吗?

理解公式之间的联系:

sin(a±P)=sinacosp±cosasinp-------->sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp——^a"P->cos2a=cos2a-sin2a

tana±tan22

tan(a±P)^P=2cosa-1=l-2sinan

1+tana•tan0

1+cos2a

cos-2a=---------

lan2a=3^-2

1-tana.1-cos2a

sin-2a=---------

2

22b

asina+bcosa=7a+bsin(a+cp),tancp=—

a

7T

sina+cosa=V2sinla+—

4,

sina+73cosa=2sin[a+]

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类

最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)

详细方法：

(1)角的变换：如0=(a+B)_a,—马―(卜。……

(2)名的变换：化弦或化切

(3)次数的变换：升、降塞公式

(4)形的变换：统一函数形式，留意运用代数运算。

如：已知；nac/a=卜tan(a-0)=-j,求tan(0-2a)的值。

/f曰sinacosacosa,.1

(由已知得：----Z—=------=1,..tana=-

2sina2sina2

、2

Xtan(p-a)=-

2_2

**一2。)=tan[(P-a)一a]=式肮*3-2=1)

,218

1+—•-

32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化,

而解斜三角形?

,222

余弦定理：a2=b2+c2-2becosA=>cosA=———-----

2be

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

[a=2RsinA

正弦定理：一^―=-^-=-^=2Ro，b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=­a•bsinC

△A2

A+B+C=A+B=7i—C

A+BC

sin(A+B)=sinC,sin=cos—

22

A+R

如AABC中，2sin2-------+cos2C=l

2

（1）求角C；

(2)^a2=b2+—,求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：1—COS(A+B)+2COS2C—1=1

又A+B=兀-C，A2cos2C+cosC-1=0

.•・cosC=,或cosC=—l(舍)

2

i71

又0<C<7t,:.c=-

3

(2)由正弦定理及a2=b2+1c2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2-=—

34

3

1—cos2A—1+cos2B——

4

3、

...cos2A-cos2B=——)

4

33.用反三角函数表示角时要留意角的范围。

反正弦：arcsinxG--,—xG[-L1]

22

反余弦：arccosxG[0,K]xe[-L1]

反正切：arctanx£,(xeR)

34.不等式的性质有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b，

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

(3)a>b>0,c>d>0=>ac>bd

L八L八

(4)a〉b>0=>—1<一1，a<b<0—1>一1

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)|x|<a(a>0)<=>-a<x<a,|x|>a<=>x<-a或x>a

如：若！<!<0,则下列结论不正确的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

C.|a|+|b|>|a+b|D.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a?+b222ab(a,beR，)；a+b>2Vab；abVb)求最值时，你是否注

意到“a,beR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定

值？(一正、二定、三相等)

留意如下结论：

>^>Vab>^(a,beR+)

2a+b'>

当且仅当a=b时等号成立。

a2+b2+c2>ab+be+ca(a,beR)

当且仅当a=b=c时取等号。

a>b>0,m>0,n>0,则

bb+m।a+na

—<-------<1<-------<—

aa+mb+nb

4

如：若x>0,2-3x-2的最大值为

x

（设y=2—（3x+3）《2—2至=2-46

当且仅当3x=3,又x>0,..。二冬◎时，ymx=2-473）

x3

又如：x+2y=L则2、+4丫的最小值为

（V2X+22y>242、对=2收，.•.最小值为2后）

36,不等式证明的基本方法都驾驭了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并留意简洁放缩法的应用。

如：证明1+1+1+…+口<2

2232n2

11

1+1-__|--------------1-.・・・・・-j-------------------

223n-1n

=2--<2）

n

37.解分式不等式含〉a（aw0）的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上

方起先

1是偶重根

如：（x+l）（x-l）2（X-2）3<0

39.解含有参数的不等式要留意对字母参数的探讨

如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论

40.对含有两个肯定值的不等式如何去解？

（找零点，分段探讨，去掉肯定值符号，最终取各段的并集。）

例如：解不等式|X-3HX+[<1

4

如：若x>0,2-3x--的最大值为

x---------

（设丫=2一,+9）42一271^=2一4百

当且仅当3x=2,又x>0,.•0=迪时.，yinax=2-473）

x3

又如：x+2y=l,则2*+4〉’的最小值为

（V2X+22y>2亚西=2亚,：.最小值为2后）

36.不等式证明的基本方法都驾驭了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并留意简洁放缩法的应用。

如：证明1+2+二+…+<2

2-32n2

z,1I1,111

2232n21x22x3（n-l）n

,11111

1+1——+---+....+

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式黑>a（a二0）的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1,穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上

方起先

1是偶重根

如：(x+l)(x-l)2(x-2)3<0

39.解含有参数的不等式要留意对字母参数的探讨

如：对数或指数的底分a〉I或0<a<l讨论

40.对含有两个肯定值的不等式如何去解？

(找零点，分段探讨，去掉肯定值符号，最终取各段的并集。)

例如：解不等式|x-3|-|x+l|<l

⑴若m+n=p+q,贝％+a1,=ap+a°；

(2)数列,吁J，(a2n},{ka_+b}仍为等差数列；

S“，S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等差数列;

(3)若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；

(4)若an,b0是等差数列T”为前n项和，则4=基」；

bmTzm-i

(5){aj为等差数列0sli=at?+bn(a,b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数)

S”的最值可求二次函数S0=an?+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界

项，即：

a>0

当为>0,d<0,解不等式组L八可得S”达到最大值时的n值。

K，<0

当为<0,d>0,由卜n,°C可得S.达到最小值时的n值。

忸向之。

如：等差数列a},Sn=18,an+an_,+an_2=3,S3=L贝！Jn=

(由a_+an_|+a„_2=33an_,=3,Aa^,=1

又S3=——•3=3a,=1,.*.a=—

32223

a11

•a_(i+ajn_(a2+an,)•n_Q")

n222

n=27)

44.等比数列的定义与性质

定义：0=q(q为常数，qwO),an=aqi

a”

等比中项：x、G、y成等比数歹U=G，=xy,或G=±&7

na,(q=1)

前n项和：S”=|a[l-q")(要注意！)

H——-(q*o

Ii-q

性质：｛an｝是等比数列

⑴若m+n=p+q,则am，an=ap,aq

(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等比数列

45.由$“求2„时应注意什么？

(n=l时，a]=S[,nN2时,an=Sn—Sn_,)

46.你熟识求数列通项公式的常用方法吗？

例如：(1)求差(商)法

如：｛aj满足ga[+>a?+...+—an=2n+5<1>

解：n=l时，—a,=2x1+5,.,.a,—14

2

a+a

nN2时，^a｝+^22+...^Tn-i=2n-1+5<2>

<l>-<2>得：!a,,=2

•F=2向

.114(n=l)

•*an-12n+i⑺22)

［练习］

数列｛aj满足S0+Sn+1=|an+l,a,=4,求a。

(注意到…T代入得:尹4

n

又加=4,.•.｛Sj是等比数列，Sn=4

n22时，an=Sn-Sn_,=……=3・4"

(2)叠乘法

例如：数列｛an｝中，a1=3,冬吐求a“

ann+l

解：也.恐……^=1•2……匕，.•.&=1

a】a2an_j23na】n

.3

又=3,••3=一

nn

(3)等差型递推公式

由a”-a.i=f(n),a,=a(),求a”，用迭加法

nN2时，a2-a1=f(2)'

—a=f(3)—一,,,0

01两边相加，得：

a„-an-l=f(n)

an-ai=f(2)+f(3)+……+f(n)

.•.a.=a0+f⑵+f⑶+……+f(n)

［练习］

数列｛aj，a1=1,a。=3-T+a『|(n、2),求a”

n

(an=1(3-l))

(4)等比型递推公式

an=can_j+dd为常数，cwO,col,dwO)

可转化为等比数列，设a“+x=c(an_+x)

nan=ca.T+(c-l)x

令(c-l)x=d,/.x=—^―

c-1

是首项为由+—L,c为公比的等比数列

c-1

［练习］

数列｛aj满足a1=9,3a“+|+an=4,求a”

(5)倒数法

2a

例如：a,=1,aj=------,求a

an+2

由已知得：」_=匕±2='+-L

^n+l2@n23n

.・1-------1=一1

^n+12

为等差数列，-=i,公差为工

lanja12

J=l+(n-l)•|=1(n+l)

.2

••an=-----7

n+1

47.你熟识求数列前n项和的常用方法吗？

例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成

对互为相反数的项。

如：｛a0｝是公差为d的等差数列，求之n」1一

k=lakak+l

解：由-------=-=-----(d*0)

ak,ak+Iak(ak+d)d<akak+1J

,01='1(1____—

>\=iakak+lk=,dlakak+J

[练习1

求X和n：,1+---।---+------।-----+.........+-------------1------------

1+21+2+31+2+3+.........+n

(an=.......=.........，Sn=2-----)

n+1

(2)错位相减法：

若｛aj为等差数列，｛bj为等比数列，求数列｛an、｝(差比数列)前n项

和，可由Sn-qS”求S”，其中q为｛bj的公比。

23n-1

如：Sn=l+2x+3x+4x+.......+nx<1>

234n-111

x•Sn=x+2x+3x+4x+.......+(n-l)x+nx<2>

<1>—<2>：(1—X)S[]=1+x+x-+........+xn1—nx11

x=1时，S=1+2+3+.......+n=----------

n2

(3)倒序相加法：把数列的各项依次倒写，再与原来依次的数列相

加。

S=a.+a?+........+a,+a.,

"12"in[＞相加

s”=a0+an-1++a2+a]

2Sn=(a,+a„)+(a2+an.l)++(3|+aj

［练习］

已知f(x)=,则f(l)+f(2)+f(g)+f(3)+f(1+f(4)+f(£|=

+f(4)+fW

.•.原式=~1)+f⑵+f

=—+1+1+1=3—)

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为：

S"=p(l+r)+p(l+2r)+........+p(l+nr)=pn+"r.......等差问题

△若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷

款一一分期等额归还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)P元，采纳分期等额还款方式，从借款日算起,

一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。假如每期利

率为r(按复利)，则每期应还x元，满意

p(l+r)n=x(l+r)n-'+x(l+r)"-2+.......+x(l+r)+x

1+r)

(1+r

pr(l+r)"

(l+r)-

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无

序组合。

(1)分类计数原理：N=m,+m2++mn

(nij为各类办法中的方法数)

分步计数原理：N=m,,m2...in,,

(mj为各步骤中的方法数)

(2)排列：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，依据肯定的

依次排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A〉

nf

Ar=n(n-l)(n-2)...(n-m+1)=1―-(m<n)

(n—mJ!

规定：0!=l

(3)组合：从n个不同元素中任取m(mWn)个元素并组成一组，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C〉

cm=AI=n(n-l)……(n-m+l)=n!

nA：m!m!(n-m)!

规定：C：=l

(4)组合数性质：

C'=c『C,+C『=CM，C：+C；+……+C>2"

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分

类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采纳隔板法，数量不大时可

以逐一排出结果。

如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成果

Xi<89,90,91,92,93),(i=l,2,3,4)K^^x(<x2<x3<x4,

则这四位同学考试成果的全部可能状况是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成两类：

(1)中间两个分数不相等，

□□□□

X]<X?VX3Vx4

有C：=5(种)

(2)中间两个分数相等

X]<X?=X3<X4

相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来，分别有3,4,

3种，.•.有10种。

•••共有5+10=15(种)状况

51.二项式定理

(a+b)"=C>"+C'an-'b+C;an-2b2+—+C>nrbr+—+C"bn

nrr

二项展开式的通项公式：Tr+I=C>-b(r=O,1……n)

C：为二项式系数(区别于该项的系数)

性质：

(1)对称性：C：=C7(r=O,1,2,...,n)

(2)系数和：C：+C；+…+C：=2"

C；+C：+C：+…=C；+C：+C：+…=2-'

(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大

且为第

(g+lj项，二项式系数为n为奇数时，(n+1)为偶数，中间两项的二项式

1«n-In+1

系数最大即第券项及第三+i项，其二项式系数为c?=c/

如：在二项式(x-1)”的展开式中，系数最小的项系数为(用数字

表示)

(Vn=ll

・・・共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第1上7=6或第7项

2

由C；XF-1)「，・,•取r=5即第6项系数为负值为最小：

Y=-CM=-426

200422(XM

又如：(1-2x)=a0+a,x+a2x+....4-a20G4x(xGR),则

a

(o+aI)+(a0+a2)+(a0+a3)+....+(a°+a2(m)=(用数字作答)

(令x=0,得：a()=1

令x=1,得：a()+a2+...+a2(K)4=1

/.原式=2003a。+(