2024年领军高考数学二轮复习专题20三角恒等变换考点必练理

PAGEPAGE1考点20三角恒等变换1．设α，β∈[0，π]，且满意sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A．[－eq\r(2)，1] B．[－1，eq\r(2)]C．[－1,1] D．[1，eq\r(2)]【答案】C2．已知eq\f(2sin2θ＋sin2θ,1＋tanθ)＝k,0<θ<eq\f(π,4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值为()A．随着k的增大而增大B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小C．随着k的增大而减小D．是与k无关的常数【答案】A【解析】eq\f(2sin2θ＋sin2θ,1＋tanθ)＝eq\f(2sinθsinθ＋cosθ,\f(sinθ＋cosθ,cosθ))＝2sinθcosθ＝sin2θ，∵0<θ<eq\f(π,4)，∴0<sinθ<eq\f(\r(2),2)<cosθ<1,0<2θ<eq\f(π,2)，∴k＝sin2θ∈(0,1)，(sinθ－cosθ)2＝1－sin2θ，sinθ－cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－k)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinθ－cosθ)＝－eq\f(\r(2－2k),2)，其值随着k的增大而增大，故选A.3．函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】函数；∵，∴当时，取得最大值为，故答案为.4．在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则的最小值为___．【答案】故答案为：.5．已知，则______．【答案】【解析】∵，∴.故答案为：6．三角形ABC中，，AC=1，以B为直角顶点作等腰直角三角形BCD（A、D在BC两侧），当∠BAC改变时，线段AD的长度最大值为._______________.【答案】3＝5﹣2cos∠BAC+2sin∠BAC＝5+4sin（∠BAC﹣45°），∴当∠BAC＝135°时AD2最大为9，AD最大值为3，故答案为：3．7．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】，所以.8．计算：______【答案】9．对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是__________．【答案】【解析】，由于是函数的拐点，故，解得.所以，依据，解得，故，当时，函数取得最大值为.10．在ABC中，，且，则_______.【答案】11．若，则____.【答案】7【解析】由正切的二倍角公式得，.故答案为：7.12．函数f(x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1(x∈R)的最大值为．【答案】2【解析】∵f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1＝4cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))－1＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴f(x)max＝2.13．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值为3，f(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝.【答案】403214．已知函数f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f(eq\f(α,3))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))cos2α，求cosα－sinα的值．【答案】[－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)，eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)]，k∈Z.－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).【解析】(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]，k∈Z.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)，eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))(cos2α－sin2α)，所以sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)(cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4))·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝eq\f(4,5)(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是其次象限角，知α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－eq\r(2).当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是其次象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),2).综上所述，cosα－sinα＝－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).15．在中，记，若，则的最大值为____．【答案】16．设函数（其中A，，为常数且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为___．【答案】17．已知向量与向量相互平行，则的值为_______。【答案】【解析】因为向量与向量相互平行所以，解得，所以，故填.18．已知，，则________.【答案】19．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则=___________．【答案】【解析】∵角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．，

∴，，

∴即答案为.20．已知为锐角，，则_____________．【答案】21．在中，若，，且，则________.【答案】【解析】因为，所以，由余弦定理知，所以，故填.22．已知曲线f（x）=ex+sinx﹣x3+1在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为α，则tan2α的值为_____【答案】23．若函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m的取值范围是____________．【答案】[，]【解析】函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）,则f′（x）=﹣+sin2x+m（sinx+cosx），令sinx+cosx=t，（）则sin2x=t2﹣1那么y=+mt-1，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h（t）=+mt-1≤0在t∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．24．已知函数f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)．(1)若f(x)在[0，π]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)