2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率练习新人教A版选修2-3

PAGEPAGE12.2.1条件概率,[A基础达标]1．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，其次个路口遇到红灯的概率为()A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.9解析：选C.设“第一个路口遇到红灯”为事务A，“其次个路口遇到红灯”为事务B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝0.8.2．(2024·西安高二检测)7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)解析：选C.记“甲站在中间”为事务A，“乙站在末尾”为事务B，则n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，P(B|A)＝eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).3．(2024·洛阳高二检测)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第一次取得一等品的条件下，其次次取得的是二等品的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)解析：选A.设事务A表示“第一次取得的是一等品”，B表示“其次次取得的是二等品”．则P(AB)＝eq\f(3×2,5×4)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5).由条件概率公式知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).4．在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝{x|0<x<eq\f(1,2)}，B＝{x|eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)}，则P(B|A)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,4)解析：选A.P(A)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).因为A∩B＝{x|eq\f(1,4)<x<eq\f(1,2)}，所以P(AB)＝eq\f(\f(1,4),1)＝eq\f(1,4)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).5．(2024·四川广安期末)甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数(不放回)，则在已知甲取到的数是5的倍数的状况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(7,15)C.eq\f(8,15) D.eq\f(9,14)解析：选D.设事务A＝“甲取到的数是5的倍数”，B＝“甲所取的数大于乙所取的数”，又因为本题为古典概型概率问题，所以依据条件概率可知，P(B|A)＝eq\f(n（A∩B）,n（A）)＝eq\f(4＋9＋14,3×14)＝eq\f(9,14).故选D.6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________．解析：因为P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)，所以P(AB)＝0.3.所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.3,0.4)＝0.75.答案：0.757．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两骰子点数之和大于8的概率为________．解析：令A＝“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B＝“两骰子点数之和大于8”，则A＝{(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，AB＝{(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)8．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率是________．解析：设“第1次抽到A”为事务A，“第2次也抽到A”为事务B，则AB表示两次都抽到A，P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(AB)＝eq\f(4×3,52×51)＝eq\f(1,13×17)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,17).答案：eq\f(1,17)9．(2024·福建厦门六中高二下学期期中)一个袋子中，放有大小、形态相同的小球若干，其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个．从袋子中任取2个小球，取到标号都是2的小球的概率是eq\f(1,10).(1)求n的值；(2)从袋子中任取2个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．解：(1)由题意得eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,n＋3))＝eq\f(n（n－1）,（n＋3）（n＋2）)＝eq\f(1,10)，解得n＝2(负值舍去)．所以n＝2.(2)记“一个的标号是1”为事务A，“另一个的标号也是1”为事务B，所以P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(1,7).10．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)假如此人是色盲，求此人是男人的概率．解：设“任选一人是男人”为事务A；“任选一人是女人”为事务B，“任选一人是色盲”为事务C.(1)P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(100,200)×eq\f(5,100)＋eq\f(100,200)×eq\f(0.25,100)＝eq\f(21,800).(2)P(A|C)＝eq\f(P（AC）,P（C）)＝eq\f(\f(5,200),\f(21,800))＝eq\f(20,21).[B实力提升]11．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1，2，3，4，5，6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事务A为“x＋y为偶数”，事务B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：选B.依据题意，事务A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本领件．所以事务A发生的概率为P(A)＝eq\f(2×3×3,6×6)＝eq\f(1,2)，而A，B同时发生，基本领件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本领件，所以事务A，B同时发生的概率为P(AB)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).12．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．解析：设事务C为“取出的数不大于50”，事务A为“取出的数是2的倍数”，事务B是“取出的数是3的倍数”．则P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(P（AC）,P（C）)＋eq\f(P（BC）,P（C）)－eq\f(P（ABC）,P（C）)＝2×(eq\f(25,100)＋eq\f(16,100)－eq\f(8,100))＝eq\f(33,50).答案：eq\f(33,50)13．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事务A，“再摸出1个白球”为事务B，则“先后两次摸出白球”为事务AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2×1,4×3)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为eq\f(1,3).(2)设“先摸出1个白球放回”为事务A1，“再摸出1个白球”为事务B1，“两次都摸出白球”为事务A1B1，P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A1B1)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，所以P(B1|A1)＝eq\f(P（A1B1）,P（A1）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为eq\f(1,2).14．(选做题)在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成果的概率．解：设“该考生6道题全答对”为事务A，“该考生恰好答对了5道题”为事务B，“该考生恰好答对了4道题”为事务C，“该考生在这次考试中通过”为事务D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事务E，则D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(6,10),Ceq\o\al(6,20))＋eq\f(Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(6,20))＋eq\f(Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(6,20))＝eq\f(12180,Ceq\o\al(6,20))，又AD＝A，BD＝B，所以P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq\f