2024年-2025年人教A版高一上学期期末复习选择题压轴题专练（范围：第一、二、三章）（解析版）

第第页高一上学期期末复习选择题压轴题二十二大题型专练（范围：第一、二、三章）【人教A版（2019）】题型1题型1根据元素与集合的关系求参数1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合A=1,3a+1,2a2+a−3，若−2∈A，则A．−1 B．12 C．1 D．−1或【解题思路】根据元素与集合的关系可得出3a+1=−2或2a2+a−3=−2，再结合集合A【解答过程】因为集合A=1,3a+1,2a2（1）若3a+1=−2，则a=−1，此时，2a此时集合A中的元素不满足互异性，舍去；（2）若2a2+a−3=−2，即2a2当a=12时，3a+1=32．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知a∈Z，A={(x,y)|ax−y≤3}且，(2,1)∈A，(1,−4)∉A，则a取值不可能为（

A．−1 B．0 C．1 D．2【解题思路】根据a的取值，结合已知逐一验证即可.【解答过程】选项A：当a=−1时，−1×2−1≤3，−1×1−(−4)≤3，故(2,1)∈A,(1,−4)∈A，A错误；选项B：当a=0时，0×2−1≤3，0×1−(−4)>3，故(2,1)∈A,(1,−4)∉A，B正确；选项C：当a=1时，1×2−1≤3，1×1−(−4)>3，故(2,1)∈A,(1,−4)∉A，C正确；选项D：当a=2时，2×2−1≤3，2×1−(−4)>3，故(2,1)∈A,(1,−4)∉A，D正确．故选：A．3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（A．34,32 B．34,【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得.【解答过程】由题意可得2m×2−3>02m×1−3≤0，解得34．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合S=xm≤x≤l满足:当x∈S时,有x2A．若m=1,则S=1 B．m的取值范围为C．若l=12,则−2【解题思路】对于A,当m=1时,S=x1≤x≤l,此时l≥1,分类讨论判断正误;对于B,由题意得m∈S,则m2∈S,所以m≤m2判断B的正误;对C,若l=12,S=xm≤x≤12,此时m≤0,则【解答过程】对于A,当m=1时,S=x1≤x≤l,此时l≥1.若l=1,则S=1,满足题意;若l>1,则l∈S,l2对于B,因为m∈S,则m2∈S,所以m≤m2,解得对于C,若l=12,S=xm≤x≤12,此时m≤0,则0≤m2≤12,解得−故选:ACD.题型2题型2根据集合间的关系求参数5．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=xax+2≤0，且B⊆A，则A．a0<a≤1 B．C．a−2≤a≤1 D．a−2<a<0【解题思路】分a=0、a>0、a<0三种情况讨论，求出集合B，在a=0时，直接验证即可；在a>0、a<0这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【解答过程】因为集合A=xx≤−2或x>1，B=x（1）当a=0时，B=∅⊆A，合乎题意；（2）当a>0时，B=xax+2≤0=xx≤−2a（3）当a<0时，B=xax+2≤0=xx≥−2a综上所述，实数a的取值范围是a−2<a≤16．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）设集合A=x∣x2+x−6=0,B={x∣mx+1=0}，若B是AA．−12,C．0,−12,【解题思路】对参数进行讨论，再结合真子集的性质建立方程，求解参数即可.【解答过程】当m=0时，B是空集，而令x2+x−6=0，解得x=2或x=−3，所以A=2,−3，得到A不是空集，而空集是任何非空集合的真子集，故m=0符合题意，当m≠0时，令mx+1=0所以B=−1m，令−1m=2，解得m=−12，令−7．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合A=x∈R2x−3−a≥0，集合B=y∈Ry=xA．a≥−72 C．a≤−72 【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.【解答过程】集合A=x∈R2x−3−a≥0=x∈Rx≥3+a28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知集合A=0,1，B=xax2+x−1=0，若A．0 B．1 C．−1 D．1【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论集合B中的原式，即可求解.【解答过程】当a=0时，B=1，满足条件，当a≠0时，若B=1，则若B=0，则Δ=1+4a=0−1=0，无解，若B=若B=∅，则Δ=1+4a<0，得a<−14，综上可知，a=0或题型3题型3交、并、补集的混合运算及其含参问题9．（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1<x<2，则A．∁UM∪N C．∁UM∩N 【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x≥2即可.【解答过程】由题意可得M∪N=x|x<2，则∁∁UM=x|x≥1M∩N=x|−1<x<1，则∁UM∩N∁UN=x|x≤−1或x≥2，则M∪∁U10．（2024·宁夏银川·一模）已知集合A={x|x<a}，B={x|1≤x<2}且A∪(∁RB)=R，则实数aA．{a|a≤1} B．{a|a<1} C．{a|a≥2} D．{a|a>2}【解题思路】根据集合B求得∁R【解答过程】因为B={x|1≤x<2}，故可得∁RB={x|x<1或因为A={x|x<a}，A∪(∁RB)=R11．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知A=x∣x2+px−6=0,B=x∣xA．4 B．53 C．143【解题思路】利用条件A∩∁RB=2，得到2∈A，从而求出p=1【解答过程】因为A∩∁RB=2，2∈A，所以4+2p−6=0，得到p=1，当p=1时，由x2+x−6=0，解得x=2或x=−3，所以−3∈B12．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）设全集U=1,2,3,4,5，若A∩B=2，∁UA．3∉A，且4∈B B．3∈A，且1∉BC．3∈A，且2∈B D．3∈A，且5∈A【解题思路】根据题意，画出Venn图，即可得到结果.【解答过程】

根据题意，由条件可得Venn图如图所示，所以A=2,3,B=2,42∈B,5∉A，故C正确，D错误；故选：BC.题型4题型4集合的新定义问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）定义集合运算：A*B={x∣x∈A且x∉B}，若集合A=1,3,4,6,7，B=A．13个 B．14个 C．15个 D．16个【解题思路】由定义运算求出集合A*【解答过程】由定义可知A*B=1,3,6,7，集合中有4个元素，所以集合A故选：C.14．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合A=0,1,3，B=1,2，定义运算A⊗B=xA．0∉B．若U=A⊗B，则∁C．若BMA⊗B，则符合要求的集合M有6个D．A⊗B中所有元素之和为15.【解题思路】根据题意可得A⊗B=0,1,2,3,6，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分析可知1,2M0,1,2,3,6【解答过程】由已知条件可得A⊗B=0,1,2,3,6.对于选项A：显然0∉对于选项B：因为U=0,1,2,3,6，则∁UA=对于选项C：若BMA⊗B，即1,2M0,1,2,3,6，则满足条件的集合M有：0,1,2、1,2,3、1,2,6、0,1,2,3、0,1,2,6、1,2,3,6，共6个，故C正确；对于选项D：A⊗B中所有元素之和为0+1+2+3+6=12，故D错误.故选：C.15．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．∅ B．4,1 C．1,32 【解题思路】由题意可得A=B=2,3，从而可得x=4或x=6，y=1或y=23，再根据新定义得A⊕B=【解答过程】因为A=B=2,3，所以x2=2或x2=3,所以x=4或所以y=1或y=23，∴A⊕B=4,1,4,故A⊕B∩C=16．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知非空集合A，B，定义A−B={x|x∈A且x∉B}，A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则下列结论一定正确的是（

）A．∁AA−B=BC．当A⊗B=B−A时A⊆B D．当A−B=B−A时，A⊗B=∅【解题思路】根据集合的新定义及集合交并补运算判断各选项．【解答过程】选项A，由A−B={x|x∈A且x∉B}，得∁A选项B，设x∈A⊗B，则x∈A∪B且x∉A∩B，因此x∈A且x∉B或者x∈B且x∉A，即x∈A−B或x∈B−A，则x∈(A−B)∪(B−A)，因此A⊗B⊆A−B反之，若x∈(A−B)∪(B−A)，则x∈A−B或x∈B−A，即x∈A且x∉B或者x∈B且x∉A，于是x∈A∪B且x∉A∩B，因此A−B∪B−A⊆A⊗B选项C，A⊗B=A−B∪B−A所以当x∈A−B时，x∈B−A，又A=(A−B)∪(A∩B)，B=(B−A)∪(A∩B)，所以对任意的x∈A，则x∈A−B或x∈A∩B，从而x∈B，所以A⊆B，C正确；选项D，若A−B=B−A，则对任意x∈A，有x∈A−B或x∈A∩B，又A−B=B−A，所以x∈B−A或x∈A∩B，所以x∈B，所以A⊆B，同理B⊆A，所以A=B，所以A∪B=A∩B，从而A⊗B=∅，D正确，故选：BCD．题型5题型5由充分条件、必要条件求参数

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（24-25高一上·广东广州·期中）已知p:x<−2或x>0，q:x>a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（A．a≤2 B．a≤0 C．a>0 D．a≥0【解题思路】令A={xx<−2或x>0}，B=xx>a，q是p的充分不必要条件可得【解答过程】令A={xx<−2或x>0}，B=xx>a，因q是p的充分不必要条件，可得可得a≥0.故选：D.18．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“∀x∈x1≤x≤2，x2A．a≥3 B．a≤4 C．a≥4 D．a=6【解题思路】根据必要不充分条件的定义即可判断.【解答过程】由命题“∀x∈x1≤x≤2，x2−a≤0”为真命题，可得即可得a≥4，则a≥4可推得a≥3，必要性成立，而a≥3推不出a≥4，充分性不成立，∀x∈x1≤x≤2，x2−a≤019．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式x+1−x−2<a成立的充分条件是0<x<1，则实数aA．a>1 B．a≥1C．a<−1 D．a≤−1【解题思路】当0<x<1时，求出x+1−x−2=2x−1<1【解答过程】根据题意，当0<x<1时，x+1−x−2=x+1+x−2=2x−1，则x+1−x−2=2x−1<1，因为20．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）命题“∀x∈x|1≤x≤3，3x2A．a≤4 B．a≤2 C．a≥3 D．a≤5【解题思路】先根据题意化简：命题“∀x∈x|1≤x≤3，3x2【解答过程】若命题“∀x∈x|1≤x≤3，3则当∀x∈x|1≤x≤3时，a≤3x2故该题可以转变为“a≤3”的一个必要不充分条件，由必要不充分条件的判断可知，“a≤3”的一个必要不充分条件是“a≤m,m>3”所以AD符合题意.故选：AD.题型6题型6全称量词与存在量词中的含参问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（24-25高一上·广东珠海·期中）若命题“∃x0∈R,A．−∞,−1∪C．−1,2 D．−1,2【解题思路】根据判别式大于等于0，可求参数的取值范围.【解答过程】因为命题“∃x0∈R,x022．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题p:∀x∈x|1≤x≤2，都有x2−a≥0，命题q:存在x0∈R,x02+2aA．a|a≤−2 B．a|a≤1C．a|a≤−2或a=1 【解题思路】求得p为真命题，实数a的取值范围；q为真命题，实数a的取值范围；进而可得p与q全为真命题时，实数a的取值范围，进而可得结论.【解答过程】若p为真命题，则a≤(x2)min，又x∈若q为真命题，则x02+2ax0+2−a=0有解，所以所以p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}，所以p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是a|−2<a<1或a>1.故选：D.23．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题p:∃x∈0,3,a=−x2+2x：命题q:∀x∈−1,2,x2A．−3,1 B．−C．−7,−3∪1,2 【解题思路】由命题p:∃x∈0,3,a=−x2+2x为假命题，则a=−x2+2x在x∈0,3上无解，即y=a【解答过程】命题p:∃x∈0,3,a=−x2+2x即y=a与y=−x2+2x

由图可知：a>1或a<−3，命题q:∀x∈−1,2,x2+ax−8≤0为真命题，则1−a−8≤04+2a−8≤0，解得−7≤a≤224．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）命题“∀x∈0,2，x2−a≤0A．a<−1 B．a≤−2C．a>5 D．a>8【解题思路】求出给定命题为真的a的范围，再求出其否定的a的范围，并结合充分不必要条件的定义判断即可.【解答过程】命题“∀x∈0,2，x2−a≤0”，即∀x∈0,2，a≥x2，而当因此由命题“∀x∈0,2，x2−a≤0”是假命题，得a<4，又{a|a<−1}{a|a<4}，{a|a≤−2}{a|a<4}，则选项AB是；a>5,a>8都不能推出题型7题型7利用作差法、作商法比较大小

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（24-25高一上·北京延庆·期中）若P=a2−2a和Q=2a−4，则P和QA．P>Q B．P<Q C．P≥Q D．P≤Q【解题思路】根据条件，通过作差法，得到P−Q=(a−2)【解答过程】因为P=a2−2a，Q=2a−4，所以P−Q=a226．（2024·山西晋城·一模）若实数m，n，p满足m=4e35，n=5e2A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果.【解答过程】因为实数m，n，p满足m=4e35，n=5e2∴m<n；又mp=4e327．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，再添加m克糖（m>0，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（

）A．ba>b+ma+m B．ba<【解题思路】利用作差法比较.【解答过程】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，所以糖水的浓度ba，再添加m克糖，即浓度b+ma+m，将糖水变甜．则ba<b+ma+m，因为a>b>028．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是（

）A．b+1a+1>ba B．ab<【解题思路】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC.【解答过程】对于A，因为a>b>0，所以b+1a+1对于B，ab>1>ba>0，故B错误；对于C，a>b>0，aab=ab>1，所以故选：ACD.题型8题型8利用不等式的性质求取值范围

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知0≤a−b≤2,1≤a+b≤4，则4a−2b的取值范围是（

）A．1≤4a−2b≤4 B．1≤4a−2b≤10C．0≤4a−2b≤6 D．1≤4a−2b≤9【解题思路】利用待定系数法求得4a−2b=3a−b【解答过程】设4a−2b=ma−b+na+b=所以4a−2b=3a−b+a+b，又0≤a−b≤2,1≤a+b≤4，所以0≤330．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知1<a<5，1<b<3，则以下错误的是（A．1<ab<15 B．2<a+b<8C．−2<a−b<4 D．1<【解题思路】由不等式的基本性质判断各选项即可.【解答过程】因为1<a<5，1<b<3，所以1<ab<15，而−3<−b<−1，15<1a<131．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知1<a<3,−5<b<−2，则下列结论错误的是（

）A．a+b的取值范围为(−4,1) B．a−bC．ab的取值范围为(−15,−2) D．ab取值范围为【解题思路】根据b的取值范围，可得到−b以及1b【解答过程】对于A，因为1<a<3,−5<b<−2，所以1+−5<a+b<3+−2所以a+b的取值范围为(−4,1对于B，因为−5<b<−2，所以2<−b<5，因为1<a<3，所以2+1<a+−b<3+5，即3<a−b<8，所以a−b的取值范围为对于C，因为1<a<3,−5<b<−2，则2<−b<5，所以2<−ab<15，则−15<ab<−2，所以ab的取值范围为(−15,−2)，故C正确，不符合题意；对于D，因为−5<b<−2，所以−12<1b<−15，则所以ab取值范围为−32．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知实数a，b满足1≤a+b≤7，3≤a−b≤5，则下列说法正确的是（

）A．a的最大值是6，最小值是2 B．b的最大值是2，最小值是−2C．4a+2b的最大值是28，最小值是4 D．ba的最大值是25【解题思路】根据给定条件，利用不等式性质逐项分析求解即可.【解答过程】对于A，由1≤a+b≤73≤a−b≤5，解得2≤a≤6，当且仅当a+b=1a−b=3时当且仅当a+b=7a−b=5时a对于B，由1≤a+b≤73≤a−b≤5，解得−2≤b≤2，当且仅当a+b=1a−b=5时b取得最小值当且仅当a+b=7a−b=3时b对于C，4a+2b=3(a+b)+(a−b)，而3≤3(a+b)≤213≤a−b≤5，则6≤4a+2b≤26对于D，由选项B知，b的最大值为2，此时a=5；b的最小值为−2，此时a=3，观察图形知，当b取最大值2时，ba的最大值是25，当b取最小值−2时，ba故选：ABD.题型9利用基本不等式题型9利用基本不等式求最值

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高一上·广东深圳·期中）若2a+b=1(a>0,b>0)，则1a+1A．3−22 B．8 C．42 【解题思路】由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解.【解答过程】因为2a+b=1(a>0,b>0)，所以1a+1b=1a+134．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若a,b>0，且ab=2a+b+4，则ab的取值范围是（

）A．4,8+43 B．4,16 C．8+43,+【解题思路】由基本不等式的性质将原式变形为ab≥22ab+4，进而求出【解答过程】因为a>0，b>0，ab=2a+b+4，则ab≥22ab+4，当且仅当即(ab)2−22ab−4≥0故选：C.35．（24-25高一上·上海·期中）已知x,y∈R①若x+y=1，则1x+②若x+3y=xy，则x+y的最小值为4+2③若x+2y+xy=4，则x+2y的最小值为4④2x3x+2y+上述列命题中，正确的命题是（

）A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③【解题思路】利用条件等式、“1”的代换及基本不等式求各项的最值，即可判断.【解答过程】①由题设x+yx+x②由题意3x+1当且仅当x=3+3③由题意x+2y=4−xy=4−12x⋅2y≥4−则x+2y≤−43−4（舍）或x+2y≥43④由2x≤127−综上，正确的有②③故选：D.36．（24-25高一上·河北石家庄·期中）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法正确的是（

）A．xy的最大值为98 B．yxC．x+2y的最小值为6 D．x【解题思路】根据基本（均值）不等式可判定ABD是正确的，举反例说明C是错误的.【解答过程】对A：因为3=x+2y≥2x⋅2y⇒xy≤当且仅当x+2y=3x=2y，即x=32对B：因为yx+1y=3−x2x+1y=32x+对C：当x=y=1时，满足x+2y=3，此时x+对D：因为x2+4y2=x+2y2−4xy=9−4xy，由A选项可知，故选：ABD.题型10题型10基本不等式的恒成立、有解问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（23-24高二上·黑龙江绥化·开学考试）设正数a，b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥−x2A．m≥3 B．m≤3C．m≤6 D．m≥6【解题思路】首先利用基本不等式求出a+b的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于m的不等式求解.【解答过程】因为正数a，b满足1a+9b=1，则a+b=(a+b)1a+9b=1+9+ba+9ab≥10+2(a+b)min=16，所以16≥−x2+4x+18−m，即m≥−x2+4x+2对任意实数x恒成立.令38．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+A．{m|−1<m<4} B．{m|m<−4或m>1}C．{m|−4<m<1} D．{m|m<−1或m>4}【解题思路】首先将原问题转化为x+y4min【解答过程】∵不等式x+y4<m2−3m有解，∴x+y4min<m2−3m，∵x>0，y>0，1x+故选：D．39．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知x>0,y>0，且x+y=3，若mx+1ym−1≤y2+x+1A．−∞,1 C．−∞,1∪【解题思路】根据题意，问题可转化为mm−1≤y2+x+1x+1y=yx+1+1y【解答过程】因为mx+1ym−1可得mm−1≤y2+x+1x+1y则yx+1+1y=所以yx+1+1y最小值为54，所以mm−1≤54，可得5−m4m−1≤0，即40．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知x>1,y>1，且不等式x2y−1+y2A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】令a=y−1，b=x−1，a+1≥2a（当且仅当a=1时取等号），b+1≥2b（当且仅当b=1时取等号），所以x2y−1+【解答过程】令a=y−1，b=x−1，因为x>1，y>1，所以a>0，b>0，则y=a+1≥2a（当且仅当a=1时取等号），x=b+1≥2b（当且仅当则x2y−1+y2因为不等式x2y−1+y2x−1题型11题型11由一元二次不等式的解确定参数

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知关于x的不等式a2−1x2−2ax+1<0A．a−43<a≤−54或C．a−32<a≤−1或1≤a<3【解题思路】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得a的取值范围.【解答过程】∵a当a2−1<0，即−1<a<1，不等式解集为{xx<1a−1或x>1a+1}，存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；当a2−1>0由∵0<1a+1<12，∴原不等式的3个整数解为：1,2,3当a<−1时，1a+1<1由∵1a−1>−12，∴原不等式的3个整数解为：−1,−2,−3，∴综上所述：−43<a≤−542．（24-25高一上·福建·期中）已知关于x的不等式x2−1+2ax+2a<0的解集中不含有整数，则实数A．(0,1) B．0,C．0,12∪【解题思路】对实数a的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数限定出不等式可得结果.【解答过程】不等式x2−1+2a当2a<1时，不等式解集为2a,1，依题意可得2a≥0，解得a≥0，所以0≤a<1当2a=1，不等式为x−12当2a>1时，不等式解集为1,2a，依题意可得2a≤2，解得a≤1，所以12综上可得，实数a的取值范围为0,1.故选：D.43．（23-24高一上·四川广安·期中）已知关于x的不等式组x2−x−2>02x2A．−10,−8∪6,8 C．−10,−8∪6,8 【解题思路】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论k≥2，k<2即可.【解答过程】由x2−x−2>0，解得x<−1或x>2，由2x2+(k+2)x+k=0当k≥2时，2x2+(k+2)x+k≤0所以−4<−k2≤−3，解得6≤k<8，当k<2时，2因为不等式有且仅有两个整数解，所以4≤−k2<5，解得−10<k≤−8，综上所述，实数k的取值范围是44．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）若关于x的不等式ax2−bx+c>0的解集为M={x∣−1<x<2}A．a<0B．不等式bxax−b≤2C．4a+2b+c<0D．不等式ax2【解题思路】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断a的符号，利用韦达定理得到a,b,c的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得.【解答过程】由题意，方程ax2−bx+c=0有两根为−1由韦达定理，ba=1ca=−2即(x−1)(x−2)≥0x−1≠0,解得x≥2或对于C，因c=−2a=−2b，且a<0，故4a+2b+c=4a+2a−2a=4a<0，故C正确；对于D，ax2+bx+c>0⇔ax2+ax−2a>0，因题型12题型12一元二次不等式恒成立问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一元二次不等式则2kx2+kx−38<0对一切实数A．−3,0 B．−3,0C．−3,0 D．0,3【解题思路】根据二次函数的性质及二次不等式的解法列式可得.【解答过程】由一元二次不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k<0k2−4×2k×−3故选：C.46．（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式x2−(a+2)x+2a≤0对任意的x∈[−1,1]恒成立，则a的取值范围是（A．[−1,1] B．[−1,+∞) C．[−1,2] 【解题思路】令f(x)=x2−(a+2)x+2a，将问题转化为f(x)max≤0，分类讨论【解答过程】令f(x)=x2−(a+2)x+2a，∴f(x)的对称轴为x=a+22=a2+1，当a2+1≤0，即a≤−2时，f(x)max=f1=12−(a+2)+2a=a−1综上，a≤−1，即实数a的取值范围是a≤−1.故选：D.47．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知m∈−1,1，不等式x2+m−4x+4−2m>0A．−∞,1 B．1,3 C．−∞【解题思路】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得.【解答过程】令fm=x2+m−4x+4−2m=x−2m+x2−4x+4，当故选：C.48．（24-25高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（

）A．当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则B．x2−kx+k−1<0在1,2上恒成立，则实数kC．当x>0时，不等式x2−ax+16>0恒成立，则实数aD．若不等式x2−ax+4≥0对任意x∈1,3恒成立，则实数【解题思路】讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立可得k的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于a的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误.【解答过程】A.当k=0时，1>0恒成立，当k≠0时，k>0Δ=k综上得，k的取值范围是0,4，选项A正确.B．由x2−kx+k−1<0得(x−1)(x+1−k)<0，由x∈1,2得，x+1−k<0，k>x+1在1,2上恒成立，故k≥3，即实数kC.由题意得，a<x+16x(x>0)恒成立，即a<(x+16x)min，由x+16D.由题意得，a≤x+4x,x∈1,3，即a≤(x+4x)min，由x+故选：ABC.题型13题型13一元二次不等式有解问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示49．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若∃x∈x|1≤x≤3，使得x2−2ax+a+2≤0成立，则实数aA．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥【解题思路】分析可知原题意等价于∃x∈x|1≤x≤3，使得x2+2【解答过程】因为x2−2ax+a+2≤0，即x2+2≤a2x−1，又因为1≤x≤3，则2x−1∈1,5，可得x2+22x−1可得x2+22x−1=t+1可得a≥2，所以实数a的范围是a≥2.故选：B.50．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在x∈12,3，使不等式x2−ax+1≥0A．−2≤a≤2 B．a≤C．a≤103 【解题思路】令f(x)=x2−ax+1，将问题等价转化为fmax(x)≥0,x∈【解答过程】令f(x)=x2−ax+1，对称轴方程为x=a2等价于f(x)max≥0,x∈12,3，当a2因为(−∞,72]∩(−∞,103]=(−∞,103]，所以a∈(−∞,故选:C.51．（23-24高三上·湖北·阶段练习）若∃x∈−1,2，使得不等式x2−2x+a<0成立，则实数aA．a<−3 B．a<0 C．a<1 D．a>−3【解题思路】由题意可转化为∃x∈−1,2，使a<−x2【解答过程】因为∃x∈−1,2，使得不等式x2−2x+a<0成立，所以∃x∈−1,2，使得不等式a<−x2+2x成立，令f(x)=−x2+2x，故选：C.52．（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于x的不等式x2−6x+2−a>0在区间0,5内有解，则实数a的取值可以是（A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】不等式x2−6x+2−a>0在区间0,5内有解，转化为(x【解答过程】不等式x2−6x+2−a>0在区间0,5内有解，仅需(x2−6x+2)max>a即可，令f(x)=x2−6x+2，因为f(x)的对称轴为x=−题型14题型14函数的定义域、值域问题53．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知fx的定义域为1,3，则f1xA．13,1 B．13,12【解题思路】应用抽象函数定义域求解即可.【解答过程】因为fx的定义域为1,3，所以1<1x<31<x+所以f1x+f54．（23-24高一上·浙江·期末）若函数y=fx的定义域为0，4，则函数y=A．−12,1∪1,32 B．【解题思路】根据条件列出不等式组，解出即可.【解答过程】因为函数y=fx的定义域为0,4，所以0≤2x+1≤4x−1≠0，解得−1故函数y=f2x+1x−155．（24-25高一上·全国·课后作业）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，例如：−2.1=−3，3.1=3．已知函数fx=A．0,1 B．0,1,2 C．−1,0,1 D．−1,0,1,2【解题思路】求得f0=12，当x≠0时，将函数化简变形得fx=12+2x+1x【解答过程】显然，f0=12．当令t=x+1x，当x>0时，t=x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1则−12≤1t<0,12−2×56．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数fx的定义域和值域均为−3,3，则（

A．函数fx−2的定义域为−1,5 B．函数f3xC．函数fx−2的值域为−3,3 D．函数f2x【解题思路】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD.【解答过程】函数fx−2中的x需满足−3≤x−2≤3，解得−1≤x≤5，故函数fx−2的定义域为−1,5，故A正确；函数f3xx−1中的x需满足−3≤3x≤3,x−1≠0,解得−1≤x<1，故函数f3xx−1的定义域为−1,1题型15题型15函数的单调性问题57．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数y=1−−x2A．0,3 B．−∞,3 C．3,6 【解题思路】先求出函数的定义域，令t=−x2+6x【解答过程】解：由−x2+6x≥0，解得0≤x≤6,所以函数y=1−−x2+6x的定义域为0,6，令t=−x258．（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知函数f(x)=(3a−1)x+4a,(x<1)ax,(x≥1)在R上单调递减，则实数A．17,1 C．16,1 【解题思路】根据各段函数的单调性和分段点处的高低可得关于a的不等式组，故可得其取值范围.【解答过程】因为fx在R上单调递减，故3a−1<0a>03a−1+4a≥a59．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在[0,+∞)上的函数f（x）满足对∀x1,x2∈[0,+∞)，A．(2023,+∞) B．(2024,+∞) C．【解题思路】变形给定的不等式，构造函数g(x)=f(x)−2x并确定单调性，再利用单调性求解不等式.【解答过程】由f(x2)−f(x1则g(x2)−g(x1)x2−由f(x−2024)>2(x−1013)，得f(x−2024)−2(x−2024)>2022，即g(x−2024)>g(1)，则x−2024>1，解得x>2025，所以原不等式的解集为(2025,+∞)60．（24-25高一上·浙江·期中）下列结论错误的是（

）A．若f1<f2，则fB．fx=xC．fxD．若fx=−x【解题思路】由单调性的定义可得A错误；由二次函数的性质可得B正确；由单调函数的规定可得C错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D错误；【解答过程】对于A、不符合任意性，故A错误；对于B、fx=x2+2x−3=x+12−4，在对于D、由题意，得−a≥1a+3>0−1题型16题型16利用函数的性质解不等式61．（24-25高一上·北京大兴·期中）定义在R上的偶函数f(x)满足：f(2)=0，且对任意的x1,x2∈[0,+∞)A．(−2,0) B．(−2,0)∪(2,+C．(−∞,−2)∪(0,2) 【解题思路】先判断单调性，结合奇偶性，分x≥0和x<0讨论即可得解.【解答过程】因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)因为f(x)为偶函数，所以f(x)在−∞,0上单调递增，又f(2)=0，所以f(−2)=0，当x≥0时，xf(x)>0⇔fx>0，可得0<x<2；当x<0时，xf(x)>0⇔fx<0，可得x<−262．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知定义域为R的函数fx在1,+∞单调递减，且f2−x+fx=0，则使得不等式A．−1,2 B．−C．−2,1 D．−【解题思路】利用函数关于点对称公式可得fx关于1,0对称，从而判断得fx在R上单调递减，再将不等式变形为fx【解答过程】因为f2−x+fx=0，所以fx关于1,0对称，因为fx在1,+∞单调递减，所以fx在R上单调递减，又fx=−f2−x，则f2x=−f2−2x，所以由所以x的取值范围为−∞,−2∪63．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数fx对任意x∈R满足fx=f−4−x，任意x1,x2∈(−A．−∞,−5C．3,+∞ D．【解题思路】由已知可得fx的图象关于直线x=−2对称轴，在−∞,−2【解答过程】因为对任意x∈R满足fx=f−4−x，所以fx的对称轴为直线x=−2，因为函数fx对任意x1,x2∈−∞,−2，都有fx1−f−4−x2x1−x2>0，又fx264．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数fx满足：任意给定x∈R，都有fx+3=f1−x，且任意x1，xA．f−a2+a+1≤fC．f0>f3 D．若【解题思路】先根据条件确定函数的单调性及对称性，根据单调性来比较大小确定AC；利用单调性及对称性解不等式确定D；根据单调性求出最值确定B.【解答过程】任意给定x∈R，都有fx+3=f1−x，则函数fx关于x=2对称，又任意x1，x2∈2,+∞，fx1−fx2x1−x2<0x1≠题型17题型17函数的奇偶性问题65．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定义域为a−4,2a−2的奇函数fx=2024x3−5x+b+2A．0 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值，再利用f0=0求出b的值，进而求得【解答过程】∵fx是a−4,2a−2上的奇函数，∴fx定义域关于原点对称，即a−4+2a−2=0，所以3a=6，a=2，此时定义域为−2,2，又f0=b+2=0，则b=−2，故f66．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）下列函数中为偶函数是（

）A．y=1x B．y=x12 【解题思路】根据奇偶函数的定义判断奇偶性,得到答案.【解答过程】对于A选项，y=1x，定义域为x|x≠0，定义域关于原点对称，f−x对于B选项，函数y=x12，定义域为x|x≥0对于C选项，函数y=|x|+1，其定义域为R，关于原点对称，f(−x)=|−x|+1=|x|+1=f(x)，所以y=|x|+1是偶函数，故C正确；对于D选项，函数y=x+1x，其定义域为{x|x≠0},关于原点对称，所以y=x+167．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)=2，且对于任意x1>x2>0，有xA．g(x)在(0,+∞)上单调递减 B．C．g(4)<g(−3) D．f(x)在(2,+∞【解题思路】根据函数的单调性判断gx、fx的单调性判断AD，根据gx【解答过程】对于任意x1>x2>0，x2fx1因为的gx定义域为−∞,0∪0,+∞，所以g−x=f对于任意x1>x2>2，fx1−fx2=x1gx68．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数f(x)=|x−1|，构造函数g(x)=f(x)−f(−x)，下列函数g(x)的说法正确的是（

）A．g(x)−g(−x)是偶函数 B．g(x)+g(−x)是偶函数C．g(x)|g(x)|是奇函数 D．g(x)g(|x|)是奇函数【解题思路】根据给定条件，求出函数g(x)并确定其奇偶性，再利用函数奇偶性定义逐项判断即得.【解答过程】函数f(x)=|x−1|，则函数g(x)=|x−1|−|x+1|定义域为R，g(−x)=|−x−1|−|−x+1|=|x+1|−|x−1|=−g(x)，因此函数g(x)是奇函数，对于A，g(x)−g(−x)=2g(x)是奇函数，A错误；对于B，g(x)+g(−x)=0是偶函数，B正确；对于C，g(−x)|g(−x)|=−g(x)|g(x)|，g(x)|g(x)|是奇函数，C正确；对于D，g(−x)g(|−x|)=−g(x)g(|x|)，g(x)g(|x|)是奇函数，D正确.故选：BCD.题型18题型18抽象函数的性质综合69．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数y=f(x+1)与y=g(x)的定义域均为R，且它们的图象关于x=1对称，若奇函数g(x)满足g(x)=g(2−x)，下列关于函数f(x)的性质说法不正确的有（

）A．f(x)关于x=2对称 B．f(x)关于点(4,0)对称C．f(x)的周期T=4 D．f(2027)=0【解题思路】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数f(x)图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得.【解答过程】对于A，令(x,y)是函数y=g(x)的图象上任意一点，则(2−x,y)在y=f(x+1)的图象上，即y=g(x)y=f(3−x)，则g(x)=f(3−x)，由g(x)为奇函数，得g(−x)+g(x)=0，则有f(3−x)+f(3+x)=0，函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，又g(x)=g(2−x)，则f(3−x)=f(1+x)，函数f(x)的图象关于x=2对于C，f(3+x)=−f(1+x)，即f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)的周期T=4，C正确；对于D，f(3)=0，则f(2027)=f(506×4+3)=0，D正确；对于B，由f(4−x)=f(x)，得f(8−x)=f(x)，函数f(x)的图象关于x=4对称，若f(x)图象关于点(4,0)对称，则f(8−x)+f(x)=0，即f(x)=0，而没有条件确保f(x)=0恒成立，B错误.故选：B.70．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数fx的定义域为R，ffx+y=fxA．f0=0 B．C．f2024=2024 D．fx【解题思路】利用赋值法x=1,y=0可得f0=0，即可判断A，利用y=−x，即可根据奇函数的定义判断B，利用ffx+1−x=f【解答过程】取x=1,y=0，则ff1=f1+f取y=−x，则ffx−x=fx+f对任意的x都有ffx+1−x=f因此fx的图象关于点1由于1=fx+f1−x且fx是奇函数，得因此f2故选：D.71．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数fx的定义域为R,fx+yfx−y=f2A．fxB．fxC．当−1<x<0时，fD．当0<x<1时，f【解题思路】对于A,令x=y=0，得f0=0，令x=0，将y变换为−y，得到f−y+fy【解答过程】对于A,令x=y=0，则f20=f20−f20，得将y变换为−y，则f−yfy+f−y=0，故对于B，,设x2>x1=fx2+x1又f0=0,fx是奇函数，故f对于C，−1<x<0时2<2−x<3,1<x+2<2,∴2−x>x+2,f2−x对于D，0<x<1时，x2故选：D.72．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy，当x>0时，A．f4=8 B．C．fx为减函数 D．当x<−2时，【解题思路】利用赋值法结合抽象函数的性质一一判定选项.【解答过程】A选项，fx+y=fx+fyB选项，fx+y=fx+fy中，令x=y=0fx+y=fx+fy中，令y=−xC选项，fx+y=fx+fy中，令x=故fx1+当x>0时，fx>0，故fx2−fD选项，f1+1=f(1)+f(1)=4⇒f(1)=2，则又x<−2，故x−1>2x+1，fx是增函数，所以f故选：ABD.题型19题型19函数性质的综合应用73．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定义在R上的函数fx满足fx+f−x=0，∀x1,xA．−53,0C．−∞,5【解题思路】令gx=fx+x，由已知不等式和等式可求得【解答过程】不妨令x2>x1≥0，则由fx1−fx2x2−x1<1得：fx1+x1<fx2+x2，令gx=fx+x故选：C.74．（24-25高一上·重庆·期中）对任意两个实数a,b，定义mina,b=a,a≤bb,a>b，若A．函数mx是偶函数 B．方程mC．不等式mx>−x的解集为(1，2) D．函数m【解题思路】根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项.【解答过程】由题意可得，mx由图象可知，m(x)为偶函数，故A正确；方程mx由y=−xy=x2−2，当x>0时，解得由y=−xy=2−x2，当x>0时，解得由图像可知：mx由图可知，m(x)的最大值为0，值域为−∞,075．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）函数fx的定义域为R，且fx在0,+∞单调递减，f1=1，若函数y=f(x−1)A．y=fx的图象关于直线x=2对称 B．fC．∀x∈R，fx≤f0恒成立 D．【解题思路】根据函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，可得fx的图象关于y轴对称，fx在0,+∞单调递减得fx在【解答过程】若函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，则fx的图象关于y轴对称，即f又fx在0,+∞单调递减，所以fx在−∞,0因为f1=1，所以f−1=1，又fx在0,+x≥0时fx>1=f所以fx>1的解集为76．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x−2x+1，则下列结论正确的是（A．f(0)=−2B．|f(x)|的单调递增区间为(−1,0)，(1,+∞)C．当x<0时，f(x)=x+D．xf(x)<0的解集为(−1,0)∪(0,1)【解题思路】由奇函数fx在x=0处有定义，可得f0=0，可判断A；由x>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得x<0时的函数解析式，可判断C；判断x>0时的fx的单调性，可得x<0时的fx的单调性，不等式xfx<0等价为x>0且fx<0，x<0【解答过程】对于A，函数fx是定义在R上的奇函数，可得f对于C，当x>0时，f(x)=x−2x+1，设x<0，则−x>0，又f−x=−fx，所以x<0对于D，由x>0时，f(x)=x−2x+1，可得f1=0，又y=x和y=−2x+1在0,+∞递增，可得fx在0,+∞递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得fx在−∞,0递增，且对于B，因为fx在−∞,0和0,+∞上递增，且f1=f−1=0，由y=fx的图象可看做y=f(x)的图象位于x轴上方的图象不变，将题型20题型20函数的新定义问题77．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）对任意两个实数a,b，定义mina,b=a,a≤bb,a>b，若fxA．函数FxB．方程FxC．函数FxD．函数Fx【解题思路】由题意写出Fx解析式，画出F【解答过程】当4−x2≤x2，即x≤−当4−x2>x2，即−

对于A选项，因F(x)=F(−x)，且x∈R，函数图像关于y对于B选项，由图可得F(x)=0有三个解，x=−2对于C选项，由图可得F(x)在−∞,−2和0,2上单调递增，在对于D选项，由图可得当x=±2时F(x)故选：B.78．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数maxa,b,c=a,a≥b且a≥cb,b≥a且b≥cc,c≥a且c≥b①若Kx是严格增函数，则K②若Kx是严格减函数，则K③若Kx是周期函数，则Kx=ℎA．无一正确 B．①② C．③ D．①②③【解题思路】根据函数Kx【解答过程】对于①项：Kx是严格增函数，得：∀x1,又因为：Kx=maxfx,gx对于②项：Kx是严格减函数，得：∀x1,x又因为：Kx=maxfx,gx对于③项：Kx是周期函数，设其周期为：T，则得：∀x,x+kT∈R，k∈Z又因为：Kx=maxfx,gx故选：D.79．（23-24高二下·福建泉州·期末）对于定义在区间D上的函数fx，若满足：∀x1,x2∈D且x1<x2，都有fx1≤fx2，则称函数A．f1=0 C．∃x0∈【解题思路】令x=1，则有f1【解答过程】对于A中，由fx+f2−x=2，令x=1，则有对于B中，当x0=32时，f32≤2对于C中，因为f1=1,f32=1，因为∀x1,x对于D中，当x=0时，f0+f2=2，可得f0=0，又由f1故选：D.80．（24-25高一上·河北石家庄·期中）设函数f(x)的定义域为R，对任意给定的正数p，定义函数fp(x)=f(x), f(x)≤pp,      f(x)>p，则称fpA．f4(2)=1 B．f4C．函数y=f4(x+1)为偶函数 D．【解题思路】根据题意，做出函数f4【解答过程】由x2−2x+1≤4⇒x+1x−3≤0所以f4所以f42=f2=将函数f4x的图象向左平移1个单位，图象关于y轴对称，即因为f4x∈0,4，当x∈0,4时，fx题型21题型21幂函数的图象与性质81．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数fx=m2−5m+5xm−2是RA．a≥7 B．a>7 C．a≤5 D．a<5【解题思路】由幂函数列出系数的等式，解方程得m的两个值，由偶函数，确定m的值得到函数fx，代入得到gx解析式，由对称轴得出单调区间，列出不等式，求出【解答过程】因为fx=m2−5m+5xm−2又因为fx=m2−5m+5xm−2是偶函数，所以m=1时，fx=x−1是奇函数，舍去；m=4时，fx=x282．（2024高三下·全国·专题练习）下列关于幂函数fx=xA．幂函数的图象都经过点0,0和1,1B．幂函数的图象不经过第三象限C．当指数α取1，3，12时，幂函数y=D．幂函数的图象过点14,8【解题思路】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可.【解答过程】对于A，当α<0时，幂函数fx=xα在对于B，当x>0时，幂函数fx=x对于C，当α=1时，fx=x，在R上单调递增；当α=3时，fx=x3，在R上单调递增；当α=1对于D，幂函数的图象过点14,8，即f14=1483．（2024高三·全国·专题练习）有四个幂函数：y=x−1；y=x13；y=x3；y=x−2A．y=x−1 B．y=x