第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（原卷版）

第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．知识点4、作二面角的三种常用方法（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解．【典例例题】题型一：异面直线所成的角【例1】（2023·甘肃定西·高一甘肃省临洮中学校考期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，为的中点，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【对点训练1】（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）如图，三棱锥中，平面平面ACD，，，，点为棱AD的中点，．(1)求证：平面平面BCD；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值．【对点训练2】（2023·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成的余弦值；题型二：线面角【例2】（2023·河南·高一校联考期末）如图，三棱柱中，为等边三角形，，，．

(1)证明：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值．【对点训练3】（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，在直三棱柱中，．

(1)证明：为直角三角形．(2)若为等腰三角形，且，求与侧面所成角的正弦值．【对点训练4】（2023·吉林长春·高一长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；(2)求与平面所成的角的大小.题型三：二面角【例3】（2023·湖南岳阳·高一统考期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点．(1)求证：平面C1BD；(2)若DC1⊥BD，AC＝BC＝1，AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值．【对点训练5】（2023·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，圆锥PO的母线长为，底面圆O的直径AB＝2，C是圆O所在平面内一点，AC与圆O相切，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC，CO，DO．(1)证明：平面PAC；(2)若，求二面角的正切值．【对点训练6】（2023·广东茂名·高一统考期中）如图，三棱锥中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．题型四：距离问题【例4】（2023·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.

(1)证明：平面：(2)若，求点到平面的距离.【对点训练7】（2023·云南保山·高一统考期末）如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【对点训练8】（2023·河北邯郸·高一统考期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若，，，求点到平面的距离.题型五：体积问题【例5】（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面是的中点.

(1)证明：面(2)证明：平面平面；(3)求三棱锥的体积.【对点训练9】（2023·河南焦作·高一统考期末）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，且．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．【对点训练10】（2023·河北唐山·高一校联考期中）如图，圆锥的底面半径，母线的长为3，为上靠近的一个三等分点，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点.

(1)求绳子的最短长度；(2)过点作一个与底面平行的截面，将圆锥分为上、下两部分，其体积分别为，，求.【真题演练】1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（

）

A． B．C． D．3．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．35．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为6．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体7．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．8．（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．9．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.10．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．11．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．【过关测试】一、单选题1．（2023·海南·高一海南华侨中学校考期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是（

）A．B．平面SCDC．直线SA与平面SBD所成的角等于D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.2．（2023·河北唐山·高一校联考期中）小明为了加强体育锻炼，提高身体素质，从网上购买了一对大小相同的健身哑铃.哑铃是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底面直径是8cm，高为2cm，连杆圆柱的底面直径是2cm，高为10cm，则一只健身哑铃的体积为（

）

A． B． C． D．3．（2023·河北唐山·高一校联考期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．（2023·广东深圳·高一校联考期中）如图，已知为正方体，则异面直线与所成角为（

）A． B． C． D．5．（2023·山东临沂·高一统考期中）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（

）

A． B． C． D．6．（2023·河北石家庄·高一校考期中）如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点．现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（

）

A． B．平面C．平面 D．平面平面7．（2023·河南焦作·高一统考期末）如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（

）

A． B． C． D．8．（2023·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（）A．224 B．448 C． D．147二、多选题9．（2023·甘肃定西·高一甘肃省临洮中学校考期中）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（

）

A．B．平面C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角10．（2023·山东临沂·高一统考期中）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（

）

A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的表面积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为11．（2023·安徽滁州·高一统考期末）如图，在四棱雉中，平面，底面为矩形，且，则（

）

A．平面平面 B．点到平面的距离为C．二面角的正切值为 D．若平面与平面的交线为直线，则12．（2023·浙江宁波·高一统考期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（

）A．异面直线AM与可能垂直B．直线BC与平面可能垂直C．AB与平面所成角的正弦值的范围为D．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为三、填空题13．（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为__________．

14．（2023·福建三明·高一校联考期中）在正方体中，直线与所成的角是__________.15．（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．

16．（2023·江苏徐州·高一徐州市第一中学校考期中）如图，在长方形中，，是的中点，沿AE将向上折起，使到的位置，且平面平面，则直线与平面所成角的大小为____.

四、解答题17．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．

(1)当时，求证平面；(2)若平面平面，求的值，并说明理由．18．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.

(1)证明：平面；(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.19．（2023·浙江台州·高一校联考期中）台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁