浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∈Z|A．−1,0,1,2 B．2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2,πA．y=cosx B．y=sinx3．已知向量a，b满足a=2，a⋅2aA．3 B．4 C．6 D．74．设z=1+i1A．0 B．12 C．1 D．5．已知数列an中，a2=1，记Sn为an的前n项和，A．2023 B．2024 C．2025 D．20266．已知点Ma,0，N2,A．−2,0 B．−2,67．一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（

）A．180 B．220 C．260 D．3008．已知函数fx=x−ax−b2，其中a<bA．−4,5 B．−4,5二、多选题9．下面说法正确的是（

）A．若数据2x1，2x2，…，2x16的方差为8，则数据B．若a1C．已知X是随机变量，则ED．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于110．国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以−1，0，1为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数akak−1⋯a0.b1b2⋯bt3对应的十进制数为akA．10B．101010C．若n=0.b1b2D．存在唯一的a1,a11．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD1A．存在点F，使得A1FB．存在点F，使得平面AD1C．不存在点F，使得DD．不存在点F，使得四棱锥F−三、填空题12．x2−113．在△ABC中，sinA=814．关于x的方程ex+bx=2（b>0且四、解答题15．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°(1)若Q是A1N的中点，证明：PQ(2)求A1P与平面16．在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)设X为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2）.求随机变量X的分布列及其数学期望EX17．已知函数fx(1)当a=1时，讨论(2)当x≥0时，fx(3)求证：当n∈N*18．已知椭圆E:x2m+2+(1)求椭圆E的方程；(2)若过定点0,2的直线l交椭圆E于点A，B，设点Q0,12，直线AP19．设n维向量a=x1,x(1)当n=2时，若c=y2,y1且(2)已知n∈N*，记Mn={a（ⅰ）求M3，M（ⅱ）若n≥4，求Mn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案ABDCBBCDBCACD题号11答案ABD1．A【分析】解一元二次不等式求集合，再应用补集运算求集合.【详解】由A=x∈所以∁Z故选：A2．B【分析】根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得.【详解】由y=cosx的最小正周期为2π，由y=tanxy=sinx以π故选：B3．D【分析】由已知及向量数量积的运算律得a⋅b=【详解】由a⋅2a所以a⋅故选：D4．C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为z=-i【详解】由复数z=1+故选：C.5．B【分析】根据题意，利用an与Sn的关系，推得an【详解】数列an中，满足2Sn=n两式相减，可得2an=na又由a2=1故选：B.6．B【分析】问题化为(x−a【详解】以Ma,0以N2,3若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而|M所以1<|M所以−4故选：B7．C【分析】注意讨论截面的形状，根据已知及棱柱的体积公式求截面相关边长，进而求墨水与墨水瓶接触部分的面积；【详解】如下图，若截面为等腰直角三角形，腰长为a，则12a2如下图，若截面为直角梯形，上底长为b，则12×(所以此时墨水与墨水瓶接触部分的面积S=2×故选：C8．D【分析】对函数求导得f′x=3(x−【详解】由题设f′由a<b，所以当x<2a+b3或x>b时，当2a+b3<x<所以极小值点为x=b=而f2且f4所以，只需a<2a所以−4故选：D9．BC【分析】利用方差的性质判断A；根据等差数列的性质及中位数定义判断B；根据D(【详解】A：由数据2x1，2x2，…，2x16的方差为8，则数据x1B：对于等差数列{a若正整数m+k=若正整数m+k=又等差数列的平均数为Sn结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为a1C：由于一组数据的方差D(X)≥0D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，错.故选：BC10．ACD【分析】根据题设新定义直接判断A、B；由n=0×30+b1×3−1【详解】A：10FB：1010103101013F0C：n=0因为bi若全取1时，nmax若全取−1时，n由m∈N*，则1−3D：1a1b所以1=27由a1,a2,要使1a4a所以a4−b4=a2此时110103故选：ACD11．ABD【分析】当F与C重合时，应用线面平行的判定定理判断A；构建空间直角坐标系，求出平面AD1E【详解】对于A，连接A1D交AD1于点M，则当F与C重合时，有ME//因ME⊂平面AD1E，A1C⊄平面AD对于B，因AD12=AD2+D由AD∩CD=D且都在平面如下图所示，在平面ABCD内过D作D则A(32,−12,0AE=(−设平面AD1E则m⋅AE=−设CF=λCB设平面D1EF则n⋅EF=3若平面AD1E⊥平面D1所以存在点F，使得平面AD1E对于C，同B分析，可得D1F=所以(32λ所以λ2−2所以39λ2−对于D，假设存在球与平面CDD1C1、平面CDF如下左视图，则GF=32x，C俯视图角度，球心O在下底面投影为△FCD要使四棱锥F−CDD1所以32x3所以3−故选：ABD12．15.【分析】利用通项公式即可得出．【详解】通项公式Tr+1=∁6r（x2）6﹣r(-1x)r=（﹣1令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项=∁6故答案为15．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．9【分析】根据已知及和角余弦公式、三角形内角的性质整理得sinA【详解】由题设sin=−所以sinA=9故答案为：914．b>1【分析】构造f(x)=ex+bx【详解】令f(x)=ex+由f′(x)=当b>1，即lnb>0当0<b<1时f′(x所以x∈(−∞,x0x∈(x0,+∞所以f(x)min=当x0=0当x0>0时，f(x当x0<0时，f(x综上，b>1或故答案为：b>115．(1)证明见解析；(2)1010【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求得n⋅（2）由（1）中的坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.【详解】（1）由题意，以A原点，AC,AB,所以A1(0所以A1设平面A1BC的法向量n令z=1，则故n⋅PQ=0，且PQ⊄（2）由（1）得A1P=(1,1所以sinθ16．(1)1835(2)分布列见解析，期望为67【分析】（1）应用组合数求任选三个、恰有一个偶数的选法数，再由古典概型的概率求法求概率；（2）由题意X的可能值为0,【详解】（1）从7个自然数中任选三个有C73=所以这3个数中恰有1个是偶数的概率1835（2）由题设，X的可能值为0,X=2有{1,2,3}、X=0有{1,3,5}、{1,3,6}、{1X=1有所以P(X=0)X的分布列如下，X012P241E(17．(1)答案见解析；(2)a≥(3)证明见解析.【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性即可；（2）应用导数探讨x≥0时，fx（3）根据（2）结论，令x=1k，k【详解】（1）由题设fx=lnx+当−1<x<−12当−12<x<0，当x>0，f′x>（2）由题设f′x=1x对x≥0时，fx≥0恒成立，且f另一方面，a≥12所以g(x)=f所以fx在[0,综上，a≥（3）由（2）取a=12，在(令x=1k，k∈N所以k=1n18．(1)x(2)y=5【分析】（1）设椭圆上的点C(x,y)是椭圆E上一点，得到CP2（2）设直线AB:y=kx+且x1+x2=−16k4k2+1,x1x2=124k2【详解】（1）解：设椭圆上的点C(x,y)可得CP设fy=−由−1−m<0所以fymin=f(所以椭圆E的方程为x2（2）解：设直线AB:y由对称性，不妨设k<0，此时x1>x2，直线联立方程组y=kx则Δ=156k且x1又由直线AP:y联立方程组y=k1因为直线AP与直线BQ交于直线所以54(k1−化简得kx1+又由求根公式可得x1代入得48k整理得−4k=解得k2=2528，所以当k=−5714由对称性知，当k=5714时，也满足题意，此时直线综上可得，直线AB方程为y=519．(1)a⋅(2)（ⅰ）M3={（ⅱ）M(【分析】（1）根据题设定义并应用作差法比较大小即可；（2）（i）根据定义得a⋅b=y1+2y2+3（ⅱ）根据定义确定a⋅b的最值，进而有Mn的元素均属于集合S(n)=[nn+1n+2【详解】（1）由题设a⋅b−（2）（i）先求M3：设a=1,2,3所以a⋅而y3−y1可能取值有再求M4：设a=1,2,3当y4