2025年高考数学一轮复习讲练测 重难点突破09 导数中的“距离”问题（八大题型）（原卷版）

重难点突破09导数中的“距离”问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：曲线与直线的距离 2题型二：曲线与点的距离 3题型三：曲线与圆的距离 3题型四：曲线与抛物线的距离 4题型五：曲线与曲线的距离 4题型六：横向距离 5题型七：纵向距离 6题型八：直线与两曲线交点的距离 703过关测试 8

导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（

）A．3 B． C． D．3或【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（

）A． B．6 C．8 D．12【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或3【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（

）A． B．8 C．4 D．16题型二：曲线与点的距离【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为.题型三：曲线与圆的距离【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为．【典例3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知且，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【变式3-1】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(

)A． B．9 C． D．【变式3-2】若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为．【变式3-3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1 C． D．题型四：曲线与抛物线的距离【典例4-1】设，当a，b变化时，的最小值为_______.【典例4-2】设.，则的最小值为A． B．1 C． D．2【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．题型五：曲线与曲线的距离【典例5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.【典例5-2】设，，则的最小值为．【变式5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为.【变式5-2】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为.【变式5-3】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【变式5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为．【变式5-5】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A． B．C． D．【变式5-6】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．题型六：横向距离【典例6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，的图象与直线y=m分别交于A、B两点，则（）.A．B．，曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交C．的最小值为1D．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线【典例6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为．【变式6-1】已知直线，分别与直线和曲线交于点M，N两点，则线段MN长度的最小值是．【变式6-2】直线分别与曲线，直线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式6-4】已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【变式6-5】已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．题型七：纵向距离【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：①，使得；②当时，取得最小值；③的最小值为2；④最小值小于．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例7-2】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为A． B．2 C． D．【变式7-1】动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型八：直线与两曲线交点的距离【典例8-1】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．e【典例8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【变式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线分别与直线及曲线交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（

）A． B． C． D．1．已知直线与曲线和直线分别交于P，Q两点，则的最小值为．2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（

）A． B．2 C． D．44．已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．5．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．6．若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．7．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．8．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．9．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．10．若点，，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．211．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．13．已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．1014．（2024·新疆·二模）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．15．（2024·全国·模拟预测）已知，，的最小值为（

）A． B．2 C． D．16．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．17．（2024·山东·模拟预测）若，，，求的最小值为（

）A． B． C． D．18．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.20．（2024·河北石家庄·一模）若实数满足，则的最小值为．21．已知实数a，b，c，d满