数学（北师大版必修4）练习第3章1同角三角函数的基本关系

第三章§11．α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，则sinα＝()A．eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)解析：∵tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，∴cosα＝－eq\f(12,5)sinα.由sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝eq\f(25,169)，∵α是第四象限角，∴sinα＜0.∴sinα＝－eq\f(5,13).答案：D2．已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，则下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝________________________；(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝________________________.解析：因为eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，所以tanα＝eq\f(1,2).(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα＋2sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(3sin2α＋sinαcosα＋2cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(3tan2α＋tanα＋2,tan2α＋1)＝eq\f(13,5).答案：(1)－eq\f(5,3)(2)eq\f(13,5)3．已知sinθ－cosθ＝eq\f(\r(5),5)，θ∈(π，2π)．求sinθ，cosθ，tanθ.解：已知sinθ－cosθ＝eq\f(\r(5),5)，①将①式两边平方得sin2θ－2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(1,5)，即1－2sinθcosθ＝eq\f(1,5)，则sinθcosθ＝eq\f(2,5).所以sinθ，cosθ同号．又θ∈(π，2π)，所以sinθ＜0，cosθ＜0.又(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(9,5)，所以sinθ＋cosθ＝－eq\f(3\r(5),5).②联立①②可得sinθ＝－eq\f(\r(5),5)，cosθ＝－eq\f(2\r(5),5)，从而tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2).4．化简：eq\f(cosθ－sinθ,tanθ－1).解：原式＝eq\f(cosθ－sinθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(cosθ－sinθ,\f(sinθ－cosθ,cosθ))＝－cosθ.5．求证：eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).证明：方法一左边＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sinα1＋sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右边．方法二∵eq\f(cosα,1－sinα)－eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cos2α－1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－cos2α,cosα1－sinα)＝0，∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).方法三∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).方法四要证eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)成立，只需证cosα·cosα