2025年河南省漯河第四高级中学高考数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河南省漯河第四高级中学高考模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=1−i3i5A.−2i B.2i C.−2 D.22.在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)=A.−4 B.−3 C.3 D.43.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M−m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，⋯，An是集合N∗的元素个数均不相同的非空真子集，且A.14 B.15 C.16 D.184.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a，则cos(aπ3A.32 B.−32 5.已知四个数a=lg2+lg52,b=lg2⋅lg5，c=lg2，A.a B.b C.c D.d6.已知圆C：x2+y2−8x=0上的两点P、Q到直线l：x=a(−2<a<0)的距离分别为m，n，且m≠n.若m=|OP|，n=|OQ|A.2 B.4 C.6 D.87.祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1，CC1形成的几何体ABC−A1B1C1(图A.43sin18∘ B.34sin18∘8.平面内相距7m的A，B两点各放置一个传感器，物体P在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下A，B两点与P的距离，并绘制出“距离—时间”图象，分别如图中曲线a，b所示.已知曲线a经过点(0,r0)，(t1,r1)，(t2,r0)，曲线b经过点(t2,r2)，且A.67,35 B.67,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x1<x2<x3，样本数据S1：x1，A.S1的平均数一定等于S2的平均数 B.S1的中位数一定小于S2的中位数

C.S1的极差一定大于S2的极差10.数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号O来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数f(x)与g(x)，若存在正常数c，同时存在常数k∈N+，使任意x>k时，|f(x)|≤c|g(x)|，则称f(x)是O(g(x))的复杂函数，则下列函数中，满足f(x)是O(g(x))的复杂函数有(设an均为非零实数)A.f(x)=100，g(x)=lnx B.f(x)=2x2+x，g(x)=2x−3x

C.f(x)=9⋅11.若数列{fn}满足f1=1，f2=1，fn+2=fA.3fn=fn−2+fn+2，n≥3，n∈N∗

B.f1+f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M为C上任意一点，且总有|MF|≥1，则p的一个值可以为______．13.已知O为坐标原点，过双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1的直线与E的右支交于点P，与左支交于点14.已知△ABC的面积等于1，若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=6,b−c=1,sinC=74．

(Ⅰ)求b的值及△ABC的面积；

(Ⅱ)求证：16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD//BC，AD=4，AB=AP=2，BC=1，M为PB的中点，PN=2ND．

(1)证明：PC⊥BD；

(2)若Q为线段PC上一点，且A，M，Q，N四点共面，求三棱锥17.(本小题15分)

某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩(满分100分)统计如下表所示．成绩区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数100200300240160(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；

(2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间[60,70)的次数为X，求X的分布列及数学期望；

(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为p(0<p<1).在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围．18.(本小题17分)

已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，焦距为2，离心率e=12，过左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点．

(1)19.(本小题17分)

数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号[x]，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[l]=1，[2.3}=2,[−1.5]=−2．

(1)分别求函数y=[sinx]和y=[x]的值域；

(2)若f(x)=min{xex,1(x+1)2}，求函数y=[f(x)]的值；

(3)若数列{an}满足：a1参考答案1.D

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.B

8.B

9.AC

10.ABD

11.ABD

12.2(只需p≥2的值即可)

13.2

14.81715.解：(Ⅰ)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=6,b−c=1,sinC=74，

由sinC=74，可得cosC=±34，

根据余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosC，且a=6，b−c=1，

所以c2=36+(c+1)2±9(c+1)，整理得37+2c±9(c+1)=0，

显然46+11c=0不成立，所以37+2c−9(c+1)=0，可得c=4，则b=5，

根据三角形的面积公式可得S△ABC=12absinC=12×6×5×74=1574；

证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)知：a=6，b=5，c=4，

根据余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=34，

则cos2C=2cos2C−1=18，

又由cosA=b2+c2−a22bc=25+16−362×5×4=18，所以cosA=cos2C，

因为A，C∈(0,π)，且A+C<π，所以A=2C．

16.解：(1)证明：由题意知AC=AB+BC=AB+AD4，BD=AD−AB，

因为AC⋅BD=(AB+AD4)⋅(AD−AB)=0=4+4=0=0，

所以AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，又PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，

所以PC⊥BD．

(2)因为PA⊥平面ABCD，又AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AD⊥AB，所以AP，AB，AD两两垂直，

如图以17.解：(1)依题意，平均值x=1000×(100×55+200×65+300×75+240×85+160×95)=76.6，

因为0.1+0.2+0.3=0.6<0.75，0.6+0.24=0.84>0.75，所以上四分位数落在区间[80,90)，

且等于80+0.75−0.60.24×10=86.25．

(2)由样本数据可知，训练成绩在[50,60)∪[70，80)，[60,70)之内的频数之比为2：1，由分层抽样的方法得，

从训练成绩在[50,80)中随机抽取了6次成绩，在[50,60)∪[70，80)之内的4次，在[60,70)之内的抽取了2次，

所以x可取的值有：0，1，2，P(X=0)=C20Cx012P275∴E(X)=0×25+1×815+2×115=23．

(3)设事件A1，A2，A3分别表示动作优化前成绩落在区间[70,80)，[80,90)，[90,100]，

则A1，A2，A3相互互斥，所以动作优化前，在一次资格赛中，

入围的概率P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)=2401000+1601000=0.4，

18.(1)解：由题意知2c=2，则c=1，结合e=ca=12，可得a=2，

所以b2=a2−c2=3，可得椭圆C的方程为x24+y23=1．

(2)证明：由题意可得F1(−1,0)，

①当直线AB的斜率不存在时，直线的方程为x=−1，

此时A(−1,32)，B(−1,−32)，可得1|AF1|+1|BF1|=43；

②当直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1<−1<x2，

由y=k(x+1)x24+y23=1消去y，整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2−12=0．

Δ=(8k2)2−4(4k2+3)(4k2−12)=144k2+144>0，x1+x2=−8k2