2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x2−x−1≤0}，B={x||x−1|<12A.[−12,32] B.(2.已知复数z满足(4−3i)z=i(i为虚数单位)，则z−的虚部为(

)A.−425 B.−325 C.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+aA.72 B.108 C.120 D.1444.已知a，b为单位向量，且a⊥(a−3b)A.2 B.2 C.225.已知sin(α+β)=2sinαsinβ，tanαtanβ=−2，则tan(α+β)=(

)A.−43 B.43 C.−26.已知随机变量ξ：N∽(1,σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则1xA.9 B.8 C.92 D.7.若函数f(x)=2lnx−x2,x>0sin(ωx+π3A.[43,73) B.(8.已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为239，则此圆柱与圆锥的体积之比为A.29 B.29或23 C.29或49二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.两组样本数据x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的平均数分别为x−，y−，若已知xi+yi=10(i=1,2,3,4)，则x−+y−=10

B.已知变量x，y的n对样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，n∈N∗，变量x，y的线性回归方程为y=0.3x−m(m∈R)10.已知椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线A.△PQF2的周长为8

B.若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1

C.若线段PQ中点坐标为(1,1)，则直线l的方程为x+4y−5=0

D.若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x211.已知函数f(x)=2x2xA.函数f(x)的值域为(0,1)

B.函数f(x)在x=12处的切线方程为(2ln2)x−8y+4=0

C.若函数的图象关于点P对称，则点P的坐标为(1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(2x−3y)5的展开式中含x313.已知O为坐标原点，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=18，△OAB的面积为93214.已知直线y=kx+7(k∈R)与曲线y=3x−lnx相切，则k=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知m=(3sinx,2cos(x−π2))，n=(2cosx,sinx)，函数f(x)=3−m⋅n．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC16.(本小题15分)

如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P，Q分别在线段BM，AC上，且BP=2PM，AQ=2QC．

(1)求证：PQ//平面BCD；

(2)若AD=BD=2CD=6，BC=33，求直线AP与平面PBC17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2alnx−a3−2x，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a>018.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为25，且点F2到其渐近线的距离为1．

(1)求C的标准方程．

(2)若点P(x0,y0)是C上第一象限的动点，过点P(x0,y0)作直线l(l不与渐近线平行)，若l与C19.(本小题17分)

“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有x(x∈N∗)个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样.规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过n(n∈N∗)次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量Xn，且P(X1=1)=59．

(1)求x的值；

参考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.D

8.C

9.AB

10.BCD

11.ACD

12.720

13.3

14.−4

15.解：(1)由题意，m=(3sinx,2cos(x−π2))，n=(2cosx,sinx)，

则f(x)=3−m⋅n=3−23sinxcosx−2cos(x−π2)sinx

=3−3sin2x−2sin2x=3−3sin2x−(1−cos2x)

=2−2sin(2x−π6)，

所以f(x)=2−2sin(2x−π6)，

由π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，

可得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，

所以f(x)的增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z)；

(2)由f(A)=0，得sin(2A−π6)=1，

因为0<A<π，所以−π6<2A−π6<11π6，

所以2A−π6=π2，即A=π3，

因为S△ABC=332，所以12AB⋅ACsinA=12AB⋅AC×32=332，

因此AB⋅AC=6，又BC=7，

所以AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=7，

即(AB+AC)2−3AB⋅AC=7，

所以(AB+AC)2=3AB⋅AC+7=3×6+7=25，

即AB+AC=5．

16.解：(1)证明：如图，在线段BD上取一点E，使BE=2ED，

由已知，PE//AD，且PE=23MD=23×12AD=13AD，

在线段CD上取一点F，使DF=2FC，

由已知，QF//AD，且17.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，则f′(x)=2ax−2=−2(x−a)x，

当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，

当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<a，由f′(x)<0，得x>a，

所以f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，

综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，f(x)在(a,+∞)上单调递减．

(2)证明：由(1)可知，当a>0时f(x)在(0,a)上单调递增，f(x)在(a,+∞)上单调递减，

所以f(x)max=f(a)=2alna−a3−2a，

要证f(x)≤−3a，即证2alna−a3−2a≤−3a，

因为a>0，因此只需证2lna−a2−2≤−3，

设g(x)=2lnx−x2−2，x∈(0,+∞)，则g′(x)=2x−2x=−2(x+1)(x−1)x，

当x∈(0,1)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(1,+∞)上单调递减；

所以g(x)max=g(1)=−3，所以当a>0时，f(x)≤−3a，从而命题得证．

18.解：(1)根据题目；已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，

焦距为25，且点F2到其渐近线的距离为1．

可知|F1F2|=2c=25，可得c=5，

双曲线C的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，

点F2到其渐近线的距离为bcb2+a2=bcc=b=1，所以，a=c2−b2=5−1=2，

因此，双曲线C的方程为x24−y2=1．

(2)(i)证明：因为P(x0,y0)是C上第一象限的动点，则x024−y02=1，可得y02=x024−1且x0>2，

易知点F1(−5,0)、F2(5,0)，

所以，|PF2|=(x0−5)2+y02=x02−2