广东省中山一中2024-2025学年高二（下）4月月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省中山一中2024-2025学年高二（下）4月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=cosx−1，则limt→0f(π+t)−f(π)tA.1 B.0 C.−1 D.−22.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为(

)A.40 B.48 C.52 D.603.已知a=ln22,b=ln3A.c>b>a B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c4.已知函数f(x)=sin(2x+π6)在区间(0,m)上存在唯一一个极大值点，则A.7π6 B.π C.π3 5.在(1−x)5+(1−x)6+(1−xA.74 B.121 C.−74 D.−1216.有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为(

)A.8 B.144 C.120 D.2807.今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过250天后是星期(

)A.二 B.三 C.四 D.五8.已知f(x)=3f(2−x)+2x2−lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为A.3x+2y−1=0 B.3x−4y+7=0 C.3x+2y+1=0 D.3x−4y−7=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.定义在[−1,3]上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)在(1,3)上单调递减

B.函数f(x)在[−1,1]上单调递减

C.函数f(x)在x=1处取得极小值

D.函数f(x)在x=0处取得极大值10.若(1−2x)6=aA.a1+a2+a3+a4+a5+a6=1

11.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x2+kx(其中k∈R).对于不相等的实数x1，x2，设A.对于任意不相等的实数x1，x2，都有a>0

B.对于任意的k及任意不相等的实数x1，x2，都有b>0

C.对于任意的k，一定存在不相等的实数x1，x2，使得ba=2

D.若存在不相等的实数x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是______．13.某测试由8道四选一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会.若小胡答对每道有思路的题的概率为12，答对每道不会的题的概率为14，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为______．14.设f′(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点为(x0,f(x0))函数f(x)的拐点.某同学经过探究发现：任何一个三次函数f(x)=ax四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目(记为A，B，C，D)的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．

(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻.丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？

(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？16.(本小题15分)

甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打(两对男双、两对女双、一对混双)进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场(没有平局)的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是34，其余4对双打获胜的概率均是12．

(Ⅰ)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率；

(Ⅱ)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前317.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x+a)lnx+1−aax−2(a>0)．

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线l与直线10y+3x+1=0垂直，求l的方程；

(2)证明：18.(本小题17分)

某校甲、乙两班参加学校举办的三青杯篮球比赛(比赛双方均为三名运动员)，已知甲班三名运动员A，B，C一次罚球命中的概率分别是0.6，0.6，0.5，乙班三名运动员a，b，c一次罚球命中的概率分别是0.7，0.5，0.4，且每位动动员罚球是否命中相互独立．

(1)求甲班三名运动员A，B，C每人罚球一次，至少有一人命中的概率；

(2)为了评估甲乙班两支球队哪个更优秀，现6名运动员各罚球一次，命中得2分，不命中得0分，设甲班得X分，乙班得Y分，求E(X)，E(Y)，判断哪班球队更优秀．19.(本小题17分)

若函数f(x)的图象上存在三点A(a,f(a))，B(b,f(b))，M(m,f(m))，且a<m<b，使得直线AB与f(x)的图象在点M处的切线平行，则称m为f(x)在区间[a,b]上的“中值点”．

(Ⅰ)若函数f(x)=x2+3x+2在区间[a,b]上的中值点为m，证明：a，m，b成等差数列．

(Ⅱ)已知函数g(x)=2xlnx−x2+tx，存在b>a>0，使得g(a)=g(b)．

(i)求实数t的取值范围；

(ii)当t=k(k∈N∗)时，记g(x)答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为f(x)=cosx−1，

所以f′(x)=−sinx，

所以limt→0f(π+t)−f(π)t=f′(π)=0．

故选：B．2.【答案】B

【解析】解：有四对双胞胎共8人，先从中选出一对，有4种选择，然后从剩下的六个人中选出两人，且不能是同一对双胞胎，

这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一人，共3×2×2=12种选法，

则其中恰有一对双胞胎的选法种数4×12=48．

故选：B．

根据题意可先从中选出一对，再从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一人，利用分步乘法计数原理可解．

本题考查分步乘法计数原理相关知识，属于中档题．3.【答案】A

【解析】解：设f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，

当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x>e时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减．

所以f(x)在x=e时取到最大值，

所以f(e)>f(3)，f(e)>f(2)，即c>a，c>b．

因为a=ln22=ln2，b=ln33=ln33，

又因为(2)6=8<(33)6=9，所以2<33，

因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，

4.【答案】A

【解析】解：当x∈(0,m)时，2x+π6∈(π6,2m+π6)，

由f(x)在区间(0,m)上存在唯一个极大值点，

得π2<2m+π6≤5π2，解得π65.【答案】D

【解析】解：(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x3的项的系数

C53(−16.【答案】D

【解析】解：某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止，

将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入，

相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有C84种方法，

再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有C43种方法，

最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有C11种方法，

由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为C84C437.【答案】A

【解析】解：因为250=4×248=4×(7+1)16，=4×(C160716+C61715+...+C1615715+C1616)，

所以28.【答案】D

【解析】解：由于f(x)=3f(2−x)+2x2−lnx，

则令x=1，可得f(1)=3f(2−1)+2×12−ln1，

解得f(1)=−1，

由f(x)=3f(2−x)+2x2−lnx，

可得f′(x)=3f′(2−x)⋅(−1)+4x−1x，

令x=1，可得f′(1)=3f′(1)⋅(−1)+4−1，

解得f′(1)=34，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=34(x−1)，即3x−4y−7=0．9.【答案】AD

【解析】解：由图象可知，当−1<x<0时，f′(x)>0，

当0<x<3时，f′(x)<0，

所以y=f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,3)上单调递减，故A正确，故B错误；

所以函数f(x)在x=0处取得极大值，x=1不是极小值点，故C错误，D正确．

故选：AD．

利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】BC

【解析】解：若(1−2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，

对于A，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1，

所以a1+a2+a11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查了直线的斜率，利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化思想的应用，属于难题．

a=f(x1)−f(x2)x1−x2表示了函数f(x)=lnx图象上过两点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))的割线的斜率，b=g(x1)−g(x2)x1−x2表示了函数g(x)=x2+kx图象上过两点(x1,g(x1))，(x2,g(x2))的割线的斜率，从而结合导数的几何意义依次判断AB；ba=2⇔g(x1)−g(x2)=2[f(x1)−f(x2)]⇔g(x1)−2f(x1)=g(x2)−2f(x2)，令ℎ(x)=g(x)−2f(x)，利用ℎ(x)的单调性判断C；ba=−2⇔g(x1)−g(x2)=−2[f(x1)−f(x2)]⇔g(x1)+2f(x1)=g(x2)+2f(x2)，令H(x)=g(x)+2f(x)，利用H(x)的单调性判断D．

【解答】

解：A项，因为f(x)在其定义域上是单调递增，

所以根据单调递增的定义可知：对于任意的x1、x2，恒有x1−x2与f(x1)−f(x2)同号，

即a=f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，故A正确．

B项，由题意可得g(x)在(−∞,−k2]上单调递减，在[−k212.【答案】960

【解析】解：已知五种不同的颜色对A，B，C，D，E五块积木进行涂色，

若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色，

先涂A，则A有5种涂法，再涂B，

因为B与A相邻，

所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，

同理C有3种涂法，D有4种涂法，E有4种涂法，

由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4=960．

故答案为：960．

先涂A，再涂B，再涂C，再涂D，最后涂E，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数．

本题考查排列组合相关知识，属于中档题．13.【答案】1116【解析】解：根据题意，设事件A=“小胡从这8题中任选1题，且能答对”，

B=“选到能完整做对的4道题”，C=“选到有思路的2道题”，D=“选到完全没有思路”，

则P(B)=48=12，P(C)=28=14，P(D)=28=14，

P(A|B)=1,P(A|C)=12,P(A|D)=14，

则P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=12×1+1414.【答案】16196

【解析】解：由题意可知，g′(x)=3x2−6x+4，g″(x)=6x−6．

由g″(x)=6x−6=0⇒x=1．

又g(1)=1−3+4+2=4，

方程f″(x)=0有实数解x0，则称点为(x0,f(x0))函数f(x)的拐点，

所以点(1,4)是函数g(x)的拐点，也就是函数g(x)的对称中心．

所以g(x)+g(2−x)=8，

所以g(12025)+g(40492025)=8，g(22025)+g(4048202515.【答案】144；

1560．

【解析】解：(1)根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外的两位同学排列有A22A33种排法，

第二步：再把丙丁插空排列有A42种排法，

所以共有A22A33A42=144种排法；

(2)先将6为同学分成4组，按人数分有1，1，1，3和1，1，2，2种分法：

第一类：按1，1，2，2分法有C61C51C42C22A22A2216.【答案】解：(Ⅰ)已知甲学校混双获胜的概率是34，其余4对双打获胜的概率均是12，

若混双比赛抽签排到最后，则前三局甲连胜，

所以所求概率为(12)3=18；

(Ⅱ)设事件Ai=“混双比赛在第i场进行”(i=1,2,3)，

B=“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3【解析】(Ⅰ)由独立事件乘法公式即可求解；

(Ⅱ)设事件Ai表示“混双比赛在第i场进行”(i=1,2,3)，事件B表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”，由P(B)=P(B|A117.【答案】10x−3y−18=0或10x−3y−10=0；

证明见解析．

【解析】解：(1)函数f(x)=(x+a)lnx+1−aax−2，f′(x)=lnx+x+ax+1−aa=lnx+ax+1a，

则f′(1)=ln1+a1+1a=a+1a，由直线10y+3x+1=0的斜率为−310，

根据垂直直线的斜率之积为−1，∴a+1a=103，解得a=3或a=13．

当a=3时，f(1)=−83，此时l的方程为y+83=103(x−1)，即10x−3y−18=0；

当a=13时，f(1)=0，此时l的方程为y=103(x−1)，即10x−3y−10=0．

(2)证明：∵f′(x)=lnx+ax+1a，令g(x)=lnx+ax+1a，则g′(x)=1x−ax2=x−ax2，

∵a>0，x>0，∴当x>a时，g′(x)>0，则g(x)在(a,+∞)上单调递增，

当0<x<a时，18.【答案】0.92；

E(X)=3.4，E(Y)=3.2，甲班球队更优秀．

【解析】解：(1)由题意甲班3名运动员A，B，C一次罚球命中的概率分别是0.6，0.6，0.5，且每位动动员罚球是否命中相互独立．

知甲班三名运动员A，B，C每人罚球一次都不命中的概率为P(A−B−C−)=0.4×0.4×0.5=0.08，

甲班三名运动员A，B，C每人罚球一次至少1人命中的概率为1−P(A−B−C−)=1−0.08=0.92；

(2)根据题目所给命中得2分，不命中得0分，

X所有取值可能为0，2，4，6，Y所有取值可能为0，2，4，6，

则P(X=0)=P(A−B−C−)=0.08，

P(X=2)=P(AB−X0246P0.080.320.420.18Y的分布列为：Y0246P0.090.360.410.14E(X)=0×0.08+2×0.32+4×0.42+6×0.18=3.4，

E(Y)=0×0.09+2×0.36+4×0.41+6×0.14=3.2，

由于E(X)>E(Y)，故甲班球队更优秀．

(1)根据独立事件和对立事件的概率公式求解即可；

(2)X与Y的所有取值可能都为0，2，4，6，结合独立事件和对立事件的概率公式求出对应的概率，列出分布列，求出对应的数学期望，比较大小即可下结论．

本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)，属于中等题．19.【答案】解：(1)证明：由题意知f(b)−f(a)b−a=f′(m)．

因为f(b)−f(a)b−a=b2−a2+3(b−a)b−a=a+b+3，

又f′(m)